量子计算（四）——超密编码与量子隐形传态

一、符号约定

1.单量子门约定

在有多个量子位的情况下，要表示“只对其中某一量子位施加单量子门”这一操作，以之前所述的数学语言来描述依然是繁琐的。例如有编号 $0 \sim 2$ 的三个量子位，对 $1$ 号量子位施行泡利 $𝑍$ 变换，此时整个系统被施加的量子门不得不表示为：

𝐼 \otimes 𝑍 \otimes 𝐼 = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]

八阶矩阵极占位置，即使是最简便的形式 $𝐼 \otimes 𝑍 \otimes 𝐼$ 也相当长。为了解决这个问题，我们使用符号 $𝑍 [1]$ 来表示上面这个八阶矩阵，即“对 $1$ 号量子位施行 $𝑍$ 变换”，这等价于：

𝑍 [1] = 𝐼 [0] \cdot 𝑍 [1] \cdot 𝐼 [2] = 𝐼 \otimes 𝑍 \otimes 𝐼

也就是说，在形如 $Gate [𝑛]$ 的符号中，单量子门 $Gate$ 后的中括号表示这个单量子门作用于第 $𝑛$ 个量子。在这样的情况下， $Gate [𝑛]$ 具体是多少阶的矩阵不再重要，式中的 $𝐼 [𝑘]$ 总可以省略。

表示单量子门的幂的最佳无异义方法是以括号括起后再添加指数，如 ${(Gate [𝑛])}^{2}$ 。但在不足以引起混淆的情况下，可以表示为 ${Gate}^{2} [𝑛]$ 。

如果同时有较多量子执行同一个量子门操作，那么可以将编号都放入中括号中，以逗号分隔，例如：

𝐻 [0] 𝐻 [2] 𝐻 [4] = 𝐻 [0, 2, 4]

如果这些量子的编号连续，可以在中括号中以区间表示，例如：

𝐻 [0] 𝐻 [1] 𝐻 [2] = 𝐻 [1 \sim 2]

2.双量子门约定

这里的双量子门主要指的是受控门。例如受控非门 $CNOT$ ，在多量子体系中我们约定其可简写为 ${CNOT}_{𝑗}^{𝑖}$ ，其中上标表示控制位是第 $𝑖$ 号量子，下标表示受控位是第 $𝑗$ 号量子。

如果要表示双量子门的幂，应以括号括起后再添加指数，例如 ${({CNOT}_{𝑗}^{𝑖})}^{2}$ 。

如果控制位或受控位有多个量子，那么在上下标中以逗号分隔，例如 ${C 𝑈}_{2, 3}^{0, 1}$ 表示以 $0, 1$ 号量子作为控制位、 $2, 3$ 号量子作为受控位。类似地允许以区间表示连续编号的量子，例如 ${C 𝑈}_{9}^{0 \sim 5}$ 。

二、超密编码(Superdense Coding)

超密编码，指的是利用一个量子位可以传输两个经典比特的信息。能够这样做的理论基础是：当控制位处于叠加态时，受控非门将会输出纠缠态；反过来利用量子门可逆的特点，纠缠态也可以变成叠加态，甚至更进一步变成非叠加态。

这个量子特性的应用，需要事先准备处于贝尔纠缠态的两个量子，分别由传输的双方 $𝐴$ 与 $𝐵$ 持有，并分别编号为 $0$ 和 $1$ ：

| Φ_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

现在假设 $𝐴$ 需要传送给 $𝐵$ 一份两位经典比特的信息 $𝑎 𝑏$ 。 $𝐴$ 显然只能操纵自己持有的 $0$ 号量子，他根据信息 $𝑎 𝑏$ 决定对其施行 $𝑍^{𝑎 [0]} 𝑋^{𝑏 [0]}$ 操作。也就是具有四种情况：

若 $𝑎 𝑏 = 00$ ：

此时要对 $0$ 号量子施行的操作是：

𝑍^{0} [0] 𝑋^{0} [0] = 𝐼 [0] 𝐼 [0] = 𝐼

也就是不操作。于是：

𝐼 [0] | Φ_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) = | Φ_{+} ⟩

若 $𝑎 𝑏 = 01$ ：

此时要对 $0$ 号量子施行的操作是 $𝑋 [0]$ 。于是：

𝑋 [0] | Φ_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 10 ⟩ + | 01 ⟩) = | Ψ_{+} ⟩

若 $𝑎 𝑏 = 10$ ：

此时要对 $0$ 号量子施行的操作是 $𝑍 [0]$ 。于是：

𝑍 [0] | Φ_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ - | 11 ⟩) = | Φ_{-} ⟩

若 $𝑎 𝑏 = 11$ ：

此时要对 $0$ 号量子施行的操作是 $𝑋 [0] 𝑍 [0]$ 。于是：

𝑍 [0] 𝑋 [0] | Φ_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (- | 10 ⟩ + | 01 ⟩) = | Ψ_{-} ⟩

显然以上四种情况，使量子系统分别转换为了四个贝尔纠缠态！而这四个贝尔纠缠态又彼此正交，在贝尔基下的测量不可能产生混淆。故此时对于 $𝐵$ 来说，只要在 $𝐴$ 对其持有的 $0$ 号量子完成操作并发送给 $𝐵$ 后，就已经实现了以一个量子位传输两个经典比特的任务。

但对于人类观察者而言只有计算基底是能够被观察到的，为此 $𝐵$ 应再对自己持有的两个量子施加 $𝐻 [0] \cdot {CNOT}_{1}^{0}$ 操作以转换为计算基底。对于以上四个结果而言：

{\begin{cases} 𝐻 [0] \cdot {CNOT}_{1}^{0} | Φ_{+} ⟩ = 𝐻 [0] \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 10 ⟩) = | 00 ⟩ \\ 𝐻 [0] \cdot {CNOT}_{1}^{0} | Ψ_{+} ⟩ = 𝐻 [0] \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ + | 11 ⟩) = | 01 ⟩ \\ 𝐻 [0] \cdot {CNOT}_{1}^{0} | Φ_{-} ⟩ = 𝐻 [0] \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ - | 10 ⟩) = | 10 ⟩ \\ 𝐻 [0] \cdot {CNOT}_{1}^{0} | Ψ_{-} ⟩ = 𝐻 [0] \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ - | 11 ⟩) = | 11 ⟩ \end{cases}

之后， $𝐵$ 只需要测量他操作后的两个量子，就能完全确定 $𝐴$ 想要发送的两个经典比特。在以上过程中，只有一个量子位被传输。

图 1 超密编码的量子电路图

三、量子隐形传态(Quantum Teleportation)

量子隐形传态和超密编码像是问题的两方面：超密编码是让一个量子位同时携带两位经典比特的信息；而量子隐形传态则是说，使用两个经典比特即可传递一个量子位的信息。

这个任务看起来有些不可思议：毕竟两位经典比特只能得到4种组合，在超密编码中就已经分别对应了四种贝尔纠缠态——那它怎么可能传递一个可以处于任意状态下的量子位 $𝛼 | 0 ⟩ + 𝛽 | 1 ⟩$ 呢？

完成这个任务的前提依然是传输双方 $𝐴, 𝐵$ 分别持有纠缠态 $| Φ_{+} ⟩$ 的 $1, 2$ 号量子。设 $𝐴$ 要将另一量子 $| 𝜓 ⟩ = 𝛼 | 0 ⟩ + 𝛽 | 1 ⟩$ (记为 $0$ 号量子)的状态传递给 $𝐵$ ，只能利用目前持有的纠缠态 $0$ 号量子以及两位经典比特。此时三个量子的系统组合表示为：

\begin{aligned} | 𝜓 ⟩ | Φ_{+} ⟩ & = (𝛼 | 0 ⟩ + 𝛽 | 1 ⟩) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (𝛼 | 000 ⟩ + 𝛼 | 011 ⟩ + 𝛽 | 100 ⟩ + 𝛽 | 111 ⟩) \end{aligned}

首先， $𝐴$ 以 $0$ 号量子作为控制位、 $1$ 号量子作为受控位通过 $CNOT$ 门，并将 $0$ 号量子施行哈达玛变换，也就是对量子系统施行 $𝐻 [0] \cdot {CNOT}_{1}^{0}$ ：

\begin{aligned} 𝐻 [0] \cdot {CNOT}_{1}^{0} \cdot | 𝜓 ⟩ | Φ_{+} ⟩ \\ = & 𝐻 [0] \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (𝛼 | 000 ⟩ + 𝛼 | 011 ⟩ + 𝛽 | 110 ⟩ + 𝛽 | 101 ⟩) \\ = & \frac{1}{2} (𝛼 | 000 ⟩ + 𝛼 | 100 ⟩ + 𝛼 | 011 ⟩ + 𝛼 | 111 ⟩ + \\ 𝛽 | 010 ⟩ - 𝛽 | 110 ⟩ + 𝛽 | 001 ⟩ - 𝛽 | 101 ⟩) \\ = & \frac{1}{2} 𝑙 {| 00 ⟩ (𝛼 | 0 ⟩ + 𝛽 | 1 ⟩) + | 01 ⟩ (𝛽 | 0 ⟩ + 𝛼 | 1 ⟩) + \\ | 10 ⟩ (𝛼 | 0 ⟩ - 𝛽 | 1 ⟩) + | 11 ⟩ (- 𝛽 | 0 ⟩ + 𝛼 | 1 ⟩) 𝑟 { \end{aligned}

从上面最后一式来看，如果 $𝐴$ 对 $0, 1$ 号量子测量，那么各有 $\frac{1}{4}$ 的概率测量到 $| 00 ⟩, | 01 ⟩, | 10 ⟩, | 11 ⟩$ ，并且测量结果会影响到 $𝐵$ 持有的 $3$ 号量子的状态。显然 $𝐴$ 可以利用两位经典比特将测量结果传送给 $𝐵$ ，而 $𝐵$ 自然也可以根据测量结果确定自己的量子陷入哪个状态中！

测量结果为 $00$ ：

此时可以确定 $3$ 号量子处于 $𝛼 | 0 ⟩ + 𝛽 | 1 ⟩$ ，这正是 $𝐴$ 想要传递的 $0$ 号量子状态！

测量结果为 $01$ ：

此时可以确定 $3$ 号量子处于 $𝛽 | 0 ⟩ + 𝛼 | 1 ⟩$ ，那么 $𝐵$ 对其持有的 $3$ 号量子施加 $𝑋$ 操作即可；

测量结果为 $10$ ：

此时可以确定 $3$ 号量子处于 $𝛼 | 0 ⟩ - 𝛽 | 1 ⟩$ ，那么施加 $𝑍 [3]$ 操作即可；

测量结果为 $11$ ：

此时可以确定 $3$ 号量子处于 $- 𝛽 | 0 ⟩ + 𝛼 | 1 ⟩$ ，那么施加 $𝑍 [3] 𝑋 [3]$ 即可。

如此，即实现了量子隐形传态。

图 2 量子隐形传态的量子电路图