光线追踪（四）——运动模糊与纹理映射

Illustrated by 夜蓝星炫（Pixiv），Source

前三篇中的射线只携带空间信息，材质也只有一个固定反照率。本篇沿着《Ray Tracing: The Next Week》的路线扩展这两个限制：首先把射线提升到时空查询，使不同样本观察到运动物体在快门期间的不同位置；然后把“颜色”抽象为一个可查询函数，让材质随空间位置或表面坐标变化。

配套 Rust 程序位于 src/bin/chapter4.rs。本篇四幅结果均由该程序以 $1280 \times 720$ 分辨率、每像素 $48$ 个样本生成。

一、运动模糊

1. 从瞬时成像到快门时间积分

此前默认所有像素都在同一瞬间拍摄。真实相机的快门会在区间 $[𝑡_{0}, 𝑡_{1}]$ 内保持开启，因此一个像素记录的是空间采样与时间采样的共同平均。若暂时只写出时间维度，像素值可以表示为

𝐿_{avg} = \frac{1}{𝑡_{1} - 𝑡_{0}} \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝐿 (𝑡) d 𝑡 .

蒙特卡洛方法不需要显式求这个积分：对每条摄像机射线独立采样 $𝑇_{𝑘} \in U (𝑡_{0}, 𝑡_{1})$ ，再取平均

{\hat{𝐿}}_{𝑁} = \frac{1}{𝑁} \sum_{𝑘 = 1}^{𝑁} 𝐿 (𝑇_{𝑘}) .

定理 1.（均匀快门采样的无偏性）

若

𝑇

在

[𝑡_{0}, 𝑡_{1}]

上均匀分布，且

𝐿 (𝑡)

可积，则

{\hat{𝐿}}_{𝑁}

是式 (1) 的无偏估计，即

𝐸 [{\hat{𝐿}}_{𝑁}] = 𝐿_{avg}

。

证明. 均匀分布的概率密度为 $𝑝 (𝑡) = \frac{1}{𝑡_{1} - 𝑡_{0}}$ ，因此

𝐸 [𝐿 (𝑇)] = \int_{𝑡_{0}}^{𝑡_{1}} 𝐿 (𝑡) 𝑝 (𝑡) d 𝑡 = 𝐿_{avg} .

样本均值的期望等于各样本期望的平均，故结论成立。

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2. 带时间的射线与摄像机

定义 1.（时空射线）

带时间的射线由起点 $𝑶$ 、方向 $𝒅$ 和采样时刻 $𝜏$ 构成。其空间参数仍为

𝒓 (𝑠; 𝜏) = 𝑶 + 𝑠 𝒅, 𝑠 \geq 0,

但场景求交必须在时刻

𝜏

的几何状态下进行。

𝑠

是沿射线的位置参数，

𝜏

是快门时间，两者不能混用。

Rust 中保留原来的双参数构造器，使旧代码默认在 $𝜏 = 0$ 渲染；需要运动模糊时再显式指定时间：

pub struct Ray {
    pub origin: Point3,
    pub direction: Vec3,
    pub time: f64,
}

impl Ray {
    pub const fn new(origin: Point3, direction: Vec3) -> Self {
        Self::with_time(origin, direction, 0.0)
    }

    pub const fn with_time(origin: Point3, direction: Vec3, time: f64) -> Self {
        Self { origin, direction, time }
    }
}

摄像机保存 shutter_open 与 shutter_close。生成射线时，除像素抖动和孔径圆盘采样外，再增加一次时间采样：

let time = if self.shutter_open == self.shutter_close {
    self.shutter_open
} else {
    rng.range(self.shutter_open, self.shutter_close)
};
Ray::with_time(origin, direction, time)

注 1.（反弹射线不能重新抽时间）

一条路径代表同一光学事件在同一场景时刻的传播。材质散射生成后继射线时必须复制 incoming.time；若每次反弹重新抽取时间，单条路径会在运动场景的多个状态之间跳跃，得到没有物理意义的几何组合。

3. 线性运动球体

令球心在 $𝑡_{0}$ 时为 $𝑪_{0}$ 、在 $𝑡_{1}$ 时为 $𝑪_{1}$ 。最简单的运动模型是线性插值：

𝑪 (𝑡) = 𝑪_{0} + \frac{𝑡 - 𝑡_{0}}{𝑡_{1} - 𝑡_{0}} (𝑪_{1} - 𝑪_{0}) .

射线—球体求交的二次方程完全不变，只需把固定球心替换为 $𝑪 (𝜏)$ 。也就是说，时间维度被封装在“查询当前球心”这一步中。

pub fn center(&self, time: f64) -> Point3 {
    self.center0
        + ((time - self.time0) / (self.time1 - self.time0))
            * (self.center1 - self.center0)
}

let center = self.center(ray.time);
let oc = ray.origin - center;

运动图元仍要进入 BVH。节点包围盒必须覆盖整个快门区间；对于线性运动球，只需合并两个端点球的 AABB：

𝐵_{motion} = hull (𝐵 (𝑡_{0}), 𝐵 (𝑡_{1})) .

命题 1.（线性运动球的端点并盒覆盖整段运动）

半径固定、球心按式 (5) 线性运动时，端点 AABB 的最小公共 AABB 包含任意

𝑡 \in [𝑡_{0}, 𝑡_{1}]

时刻的球体。

证明. 球心的每个坐标都是两个端点坐标的凸组合，因此位于对应端点坐标的闭区间内。向三个方向各扩张固定半径后，任意时刻球体的坐标范围仍包含于端点盒逐分量合并得到的范围。

□

4. 静止快门与运动模糊对照

下面两幅图使用完全相同的五个线性运动球。第一幅把快门固定在 $𝑡 = 0.5$ ，所有样本观察同一个瞬间，因此轮廓清晰：

第二幅在 $[0, 1]$ 内均匀采样。每个像素累计了物体沿轨迹处于不同位置时的贡献，于是运动方向被拉成连续的模糊带：

运动模糊并不是对最终二维图片做滤镜。遮挡、阴影、反射和材质查询都发生在各自采样时刻；这正是把时间放进射线而不是在渲染后处理的价值。

二、纹理映射

1. 把颜色提升为纹理函数

固定反照率可以写成常函数 $𝑻 (𝑢, 𝑣, 𝒑) = 𝒄$ 。更一般地，纹理是一个查询：

𝑻 : {[0, 1]}^{2} \times ℝ^{3} \to {[0, 1]}^{3}, (𝑢, 𝑣, 𝒑) \mapsto 𝒄 .

保留 $(𝑢, 𝑣)$ 与三维位置 $𝒑$ 两组输入，可以同时表达表面纹理和空间纹理。

定义 2.（空间纹理与表面纹理）

空间纹理直接以三维点

𝒑

为输入，仿佛整个空间已经被颜色函数填充；表面纹理先把物体表面映射到二维坐标

(𝑢, 𝑣)

，再查询二维图像或函数。

一个三维棋盘纹理可令

𝑞 (𝒑) = ⌊ \frac{𝑥}{𝑠} ⌋ + ⌊ \frac{𝑦}{𝑠} ⌋ + ⌊ \frac{𝑧}{𝑠} ⌋,

根据 $𝑞$ 的奇偶选择两种颜色。这里必须使用向下取整而非向零截断，否则原点两侧的格子会不对称。

let x = (point.x / scale).floor() as i64;
let y = (point.y / scale).floor() as i64;
let z = (point.z / scale).floor() as i64;
if (x + y + z).rem_euclid(2) == 0 { even } else { odd }

棋盘线条在两个不同球面上连续弯曲，说明颜色来自同一个三维函数，而不是分别贴上的二维图片。

2. 球面 UV 坐标

图像纹理需要把单位球面点 $𝒑 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)$ 转成二维坐标。按照本系列采用的球面朝向，定义

\begin{aligned} 𝜑 & = atan2 (- 𝑧, 𝑥) + 𝜋, \\ 𝜃 & = arccos (- 𝑦), \\ 𝑢 & = \frac{𝜑}{2 𝜋}, 𝑣 = \frac{𝜃}{𝜋} . \end{aligned}

于是 $𝑢, 𝑣 \in [0, 1]$ 。 $𝑢$ 沿纬线方向绕球一周， $𝑣$ 从南极走向北极。

注 2.（接缝与极点不可避免）

球面不能无撕裂地展平为矩形：

𝑢 = 0

与

𝑢 = 1

表示同一条接缝，而极点附近许多不同的

𝑢

会汇聚到同一点。纹理绘制时应把接缝放在不显眼处，并在极点附近避免过密细节。

3. 从 UV 到图像像素

设纹理图宽高为 $𝑊, 𝐻$ 。最近邻采样先把 UV 限制在单位区间，再把坐标换成整数像素：

\begin{aligned} 𝑖 & = min (⌊ 𝑢 𝑊 ⌋, 𝑊 - 1), \\ 𝑗 & = min (⌊ (1 - 𝑣) 𝐻 ⌋, 𝐻 - 1) . \end{aligned}

式中翻转 $𝑣$ ，是因为数学纹理坐标通常向上增长，而图像数组的行号通常从顶部向下增长。

let u = u.clamp(0.0, 1.0);
let v = 1.0 - v.clamp(0.0, 1.0);
let i = ((u * width as f64) as usize).min(width - 1);
let j = ((v * height as f64) as usize).min(height - 1);
pixels[j * width + i]

配套程序不引入图像依赖，而是先用 Rust 生成一幅 $1440 \times 720$ 的 PPM 经纬测试图，再由 ImageTexture::load_ppm 读回像素。源纹理如下：

映射到球面后，粗黑线标出主要经纬区块，细白线帮助观察极点压缩、球面弯曲和接缝位置：

最近邻实现最容易验证，但放大时会出现块状边缘。若要使用双线性过滤，可读取 $(𝑖, 𝑗)$ 周围四个像素并做两次线性插值；其数学形式与第一篇的单线性插值相同，只是分别沿 $𝑢$ 、 $𝑣$ 两个方向执行。

三、实现检查清单

所有旧构造的射线默认时间为 $0$ ，保证静态场景兼容。
摄像机只在快门区间采样一次时间；整条反弹路径始终保留该时间。
运动物体求交使用 ray.time，运动 AABB 覆盖完整快门区间。
命中记录同时保存三维点、法向量和二维 UV。
空间纹理查询 $𝒑$ ，图像纹理查询 $(𝑢, 𝑣)$ ；材质不需要知道纹理的具体类型。
图像采样要限制边界并处理 $𝑣$ 方向翻转。
本系列所有 Rust 渲染输出现统一为至少 $1280 \times 720$ 。

完成这些改动后，路径追踪器不再只能渲染静态、纯色的球：时间成为场景查询的一部分，颜色也成为可组合的函数。下一步可以自然扩展到 Perlin 噪声、凹凸映射、发光纹理与更复杂的动画变换。