光线追踪（五）——四边形与光源

Illustrated by 夜蓝星炫（Pixiv），Source

只有球体的渲染器可以展示反射、折射和纹理，却很难构造墙壁、地板、灯板与盒子。本篇继续参考《Ray Tracing: The Next Week》：先加入平行四边形图元，再让普通几何通过自发光材质变成具有实际面积的光源。二者结合之后，就能搭建用于研究间接光照的经典 Cornell Box。

配套 Rust 程序位于 src/bin/chapter5.rs，生成四幅 $1280 \times 720$ 结果图。程序采用每像素 $48$ 个样本，并对面积光源进行显式随机采样。

注 1.（Perlin 噪声为何不作为本篇重点）

Perlin 噪声改变的是纹理值随空间位置的变化方式；四边形求交、自发光和可见性测试都不依赖它。它可以像第四篇的棋盘纹理一样作为反照率或发光纹理使用，却不会改变本篇的几何与照明算法，因此这里不展开。后续讨论程序纹理时再系统介绍噪声、湍流与大理石纹理更合适。

一、四边形图元

1. 用角点和两条边定义平行四边形

这里的 Quad 并非任意四边形，而是由角点 $𝑸$ 与两条不平行的边向量 $𝒖, 𝒗$ 定义的平行四边形：

𝑺 (𝛼, 𝛽) = 𝑸 + 𝛼 𝒖 + 𝛽 𝒗, 0 \leq 𝛼 \leq 1, 0 \leq 𝛽 \leq 1 .

四个顶点依次为 $𝑸$ 、 $𝑸 + 𝒖$ 、 $𝑸 + 𝒗$ 和 $𝑸 + 𝒖 + 𝒗$ 。 $𝒖$ 与 $𝒗$ 不必正交，因此这种表示也覆盖倾斜的平行四边形。

定义 1.（退化四边形）

若

𝒖 \times 𝒗 = 𝟎

，两条边平行，张成面积为零，无法定义唯一法线与二维坐标。构造器应拒绝这种输入，而不是让后续除法产生 NaN。

Rust 构造器预先缓存法线、平面常数和坐标变换所需的向量：

let n = u.cross(v);
assert!(n.length_squared() > 1e-16);
let normal = n.unit();
let d = normal.dot(q);
let w = n / n.length_squared();

2. 先与无限平面求交

四边形所在平面满足

𝒏 \cdot 𝒙 = 𝐷, 𝒏 = \frac{𝒖 \times 𝒗}{‖ 𝒖 \times 𝒗 ‖}, 𝐷 = 𝒏 \cdot 𝑸 .

把射线 $𝒓 (𝑡) = 𝑶 + 𝑡 𝒅$ 代入，得到

𝑡 = \frac{𝐷 - 𝒏 \cdot 𝑶}{𝒏 \cdot 𝒅} .

当分母接近零时，射线与平面平行；否则还要检查 $𝑡$ 是否落在当前有效区间。这里只有通过平面测试，才值得继续判断有限边界。

let denominator = self.normal.dot(ray.direction);
if denominator.abs() < 1e-9 { return None; }
let t = (self.d - self.normal.dot(ray.origin)) / denominator;
if t < t_min || t > t_max { return None; }

3. 平面坐标与边界判断

令交点为 $𝑷$ ，并记 $𝒑 = 𝑷 - 𝑸$ 。即使两条边并不正交，也可用

\begin{aligned} 𝒘 & = \frac{𝒏}{𝒏 \cdot 𝒏}, 𝒏 = 𝒖 \times 𝒗, \\ 𝛼 & = 𝒘 \cdot (𝒑 \times 𝒗), \\ 𝛽 & = 𝒘 \cdot (𝒖 \times 𝒑) \end{aligned}

恢复式 (1) 中的两个系数。随后只需检查 $𝛼, 𝛽 \in [0, 1]$ 。这两个系数同时就是四边形的 UV 坐标，可以直接交给第四篇的图像纹理。

定理 1.（平面坐标公式的正确性）

若

𝒑 = 𝛼 𝒖 + 𝛽 𝒗

且

𝒖, 𝒗

不平行，则式 (4) 恢复出的数值恰为

𝛼, 𝛽

。

证明. 对等式两边右叉乘 $𝒗$ ，含 $𝛽 𝒗 \times 𝒗$ 的项为零，故

𝒑 \times 𝒗 = 𝛼 (𝒖 \times 𝒗) = 𝛼 𝒏 .

再与

𝒘 = \frac{𝒏}{𝒏 \cdot 𝒏}

点乘便得到

𝛼

。对等式左叉乘

𝒖

，同理得到

𝛽

。

□

let planar = point - self.q;
let alpha = self.w.dot(planar.cross(self.v));
let beta  = self.w.dot(self.u.cross(planar));
if !(0.0..=1.0).contains(&alpha)
    || !(0.0..=1.0).contains(&beta) {
    return None;
}

4. 包围盒与更多平面图元

四边形的 AABB 可由四个顶点逐分量取最小值和最大值。若四边形与某个坐标平面平行，其中一个轴的厚度会严格为零；为避免擦边射线被浮点比较意外丢弃，应沿零厚度方向加入很小的 padding。

更重要的是，平面相交和二维坐标恢复可以复用。只需替换 $(𝛼, 𝛽)$ 的内部测试，就能得到不同图元：

三角形： $𝛼 \geq 0$ 、 $𝛽 \geq 0$ 且 $𝛼 + 𝛽 \leq 1$ ；
椭圆：把坐标移到中心后检查二次型；
圆环：检查半径平方位于内外半径之间；
遮罩平面：利用 UV 查询透明度纹理。

二、光源与直接照明

1. 自发光材质

此前材质只有散射：射线命中表面后得到衰减颜色和下一条射线。光源还需要一个独立的发射项 $𝐿_{𝑒}$ 。对普通材质， $𝐿_{𝑒} = 𝟎$ ；对自发光材质，命中表面就返回指定辐亮度，而且可以不再散射。

路径递归因此从单纯的“衰减乘以后继路径”变为

𝐿 (𝒓) = 𝐿_{𝑒} + 𝑓_{𝑟} 𝐿 (𝒓^{'}) .

在完整路径追踪器中，第二项还包含方向余弦、概率密度和采样权重；Lambert 材质使用匹配的余弦加权采样时，这些因子可以部分约去。

match hit.material {
    Material::Light(emission) => emission,
    Material::Diffuse(albedo) => {
        // 估计直接光照，并继续追踪间接光
    }
}

注 2.（发光颜色可以大于一）

反照率表示反射比例，通常限制在

[0, 1]

；发射辐亮度不是反射比例，可以明显大于

1

。例如 Color::new(15.0, 13.5, 10.5) 表示一个偏暖且很亮的光源，最后再通过曝光或色调映射压缩到显示范围。

把 Light 材质赋给球体、四边形或任何可求交对象，它就成为可见光源。背景色在这一阶段应设为黑色，否则天空本身仍会提供环境照明，使局部光源的作用不易辨认。

2. 从点光源到面积光源

点光源容易计算，但没有面积，通常产生完全锐利的阴影。四边形恰好可以同时充当可见几何和面积光源。对光源上的随机点

𝒚 = 𝑸 + 𝜉_{1} 𝒖 + 𝜉_{2} 𝒗, 𝜉_{1}, 𝜉_{2} \in U (0, 1),

从表面点 $𝒙$ 向 $𝒚$ 发射阴影射线。若中间没有物体，样本就对直接光照作出贡献。

均匀采样面积为 $𝐴_{𝐿}$ 的光源时，一次 Lambert 直接光照估计可写成

{\hat{𝐿}}_{𝑑} = \frac{𝜌 𝐿_{𝑒} 𝐴_{𝐿}}{𝜋} \frac{max (0, 𝒏_{𝑥} \cdot 𝝎) max (0, 𝒏_{𝑦} \cdot (- 𝝎))}{{‖ 𝒚 - 𝒙 ‖}^{2}} 𝑉 (𝒙, 𝒚),

其中 $𝜌$ 是反照率， $𝝎$ 从 $𝒙$ 指向 $𝒚$ ， $𝑉$ 是可见性函数。两个余弦分别描述接收面和发光面朝向，距离平方体现几何衰减， $𝐴_{𝐿}$ 来自均匀面积采样概率密度 $𝑝_{𝐴} = \frac{1}{𝐴_{𝐿}}$ 。

定义 2.（可见性函数）

若连接

𝒙

与

𝒚

的开线段不与其他表面相交，则

𝑉 (𝒙, 𝒚) = 1

；否则为

0

。实现时用

[𝜀, 1 - 𝜀]

作为阴影射线参数区间，既避免表面自相交，也避免把采样到的光源端点误判成遮挡物。

3. 光源尺寸与软阴影

面积光源上的每个位置都像一个微小光源。若遮挡物只挡住其中一部分，表面仍会收到其余部分的光，形成半影；光源越大，从一个像素看见的光源位置差异越大，阴影边界通常越柔和。

这组对照保持光源表面辐亮度不变，因此增大面积也会增大总功率。若只想比较阴影软硬而保持总功率近似不变，应按面积的倒数缩放 $𝐿_{𝑒}$ 。另一方面，每像素只取少量光源样本会产生明显噪点；增加样本、分层采样，或按光源对表面的贡献做重要性采样，都能降低方差。

三、用四边形搭建场景

1. 六个面组成长方体

给定轴对齐长方体的对角点 $𝒂, 𝒃$ ，先逐分量求 min、max，再构造 $𝒅_{𝑥}, 𝒅_{𝑦}, 𝒅_{𝑧}$ 三条边。每个面都是一个起点加两条边向量，共六个 Quad。注意相对面的边向量顺序应反转，使外法线方向一致；即使命中记录会根据入射射线翻转法线，稳定的几何朝向对单面发光和背面剔除仍很重要。

let faces = [
    Quad::new(point(min.x, min.y, max.z),  dx,  dy, mat),
    Quad::new(point(max.x, min.y, max.z), -dz,  dy, mat),
    Quad::new(point(max.x, min.y, min.z), -dx,  dy, mat),
    // 左、顶、底三个面……
];

这些面仍是普通 Hittable，可以和球体一起放进第三篇的 BVH。这里无需为“盒子”重新设计求交公式；组合已有图元往往比增加特殊分支更容易验证。

2. Cornell Box

Cornell Box 用白色地板、顶板与后墙，加上红、绿侧墙和顶部面积光源，构造一个几何简单但光照关系丰富的封闭场景。彩色墙面对其他表面的间接反射会形成 color bleeding；顶部灯板则提供明确的面积光源和软阴影。

本篇程序为便于快速演示，显式估计直接光照，并以少量漫反射递归近似间接光；它已经能够展示遮挡、半影和墙面染色，但并非最终的无偏积分器。若完全采用第一篇渲染方程的路径采样，必须记录每种采样策略的概率密度。下一阶段进一步加入“按光源采样”和多重重要性采样，才能同时稳定处理小光源与复杂材质。

四、实现检查清单

四边形两条边不得平行，构造时缓存法线、 $𝐷$ 与 $𝒘$ 。
先求射线与无限平面交点，再用 $(𝛼, 𝛽)$ 做有限边界测试。
把 $(𝛼, 𝛽)$ 写入命中记录，直接作为四边形 UV。
对零厚度 AABB 添加微小 padding，避免 BVH 擦边漏交。
发射项与散射项分开；普通材质默认发射黑色。
阴影射线使用带偏移的起点和不包含端点的参数区间。
面积光源采样必须包含面积、双侧余弦和距离平方等几何因子。
光源尺寸决定半影范围，光源样本数决定噪声水平。

四边形补足了平面几何，自发光材质则让几何本身成为光源。渲染器从依赖天空背景的球体展示，迈向了能够组织室内空间、可见灯具、直接阴影与间接反射的完整场景。