概率论（六）——假设检验

假设检验完全基于前一章参数估计。我们只针对正态总体参数的假设检验讨论。

一、假设检验

对于某个正态分布，具有某些未知参数，例如均值 $𝜇$ 。于是我们(可能根据经验)猜想均值为某个值 $𝜇 = 𝜇_{0}$ ，那么这就产生了两个相互对立的假设：

𝐻_{0} : 𝜇 = 𝜇_{0} 𝐻_{1} : 𝜇 \neq 𝜇_{0}

称第一个假设为原假设或零假设，第二个假设为备择假设。为了确定我们应当选择哪个假设，我们测定出一组样本值 $𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}$ ，通过这组样本值推断哪个假设更加可能符合事实。

比如我们希望以 $1 - 𝛼$ 的可能性确定假设 $𝐻_{0}$ 是正确的，或者说希望只有 $𝛼$ 的可能性在假设 $𝐻_{0}$ 是正确的情况下却选择了 $𝐻_{1}$ ，称 $𝛼$ 为显著性水平。那么，构造样本均值的标准化变量，“以 $1 - 𝛼$ 的可能性确定假设 $𝐻_{0}$ 是正确的”这句话就可以表示为：

¹¹ 复习：在参数估计中，我们称 $1 - 𝛼$ 为置信水平。

上式是遵从参数估计的写法来写的。事实上在假设检验中，我们常常是针对“只有 $𝛼$ 的可能性在假设 $𝐻_{0}$ 是正确的情况下却选择了 $𝐻_{1}$ ”的表述做文章。这句话我们简写为：

𝑃 (当 𝐻_{0} 为真时拒绝 𝐻_{0}) \leq 𝛼

在这个例子中，记标准化变量，也称为检验统计量，上式化为：

𝑃 (| 𝑍 | \geq 𝑧_{\frac{𝛼}{2}}) = 𝛼

这样，我们就能根据 $𝑍$ 的取值 $𝑧$ 确定我们应该取哪个假设。假如 $| 𝑧 | \geq 𝑧_{\frac{𝛼}{2}}$ ，这显然是一个小概率事件，这便是在说我们有 $1 - 𝛼$ 的把握拒绝 $𝐻_{0}$ 而接受 $𝐻_{1}$ 。反之，有 $1 - 𝛼$ 的把握接受 $𝐻_{0}$ 而拒绝 $𝐻_{1}$ 。将拒绝 $𝐻_{0}$ 时检验统计量的取值范围称为拒绝域，将拒绝域的边界点称为临界点。同时不妨将接受 $𝐻_{0}$ 时检验统计量的取值范围称为接受域。显然拒绝域与接受域的并集是检验统计量的整个取值范围，交集为空，因此给出其中之一则知另一个。

在这个例子中，因为备择假设的取值落在 $𝜇_{0}$ 的两边，因此称之为双边备择假设，相应的假设检验称为双边假设检验。双边假设检验实际就是在求参数的双边置信区间。相应地也有单边检验，分为左边检验和右边检验。左边检验形如：

𝐻_{0} : 𝜇 \geq 𝜇_{0} 𝐻_{1} : 𝜇 < 𝜇_{0}

右边检验形如：

𝐻_{0} : 𝜇 \leq 𝜇_{0} 𝐻_{1} : 𝜇 > 𝜇_{0}

单边检验实际就是在求参数的单边置信区间。接下来我们分析正态总体的参数的双边假设检验。

二、正态总体的双边假设检验

1.单个总体 $𝑁 (𝜇, 𝜎^{2})$ ，均值 $𝜇$ 的检验

(1)已知方差 $𝜎^{2}$

对于假设：

𝐻_{0} : 𝜇 = 𝜇_{0} 𝐻_{1} : 𝜇 \neq 𝜇_{0}

在接受 $𝐻_{0}$ 的前提下，标准化变量服从标准正态分布：

于是：

𝑃 (当 𝐻_{0} 为真时拒绝 𝐻_{0}) = 𝑃 (| 𝑍 | \geq 𝑘) = 𝛼

由双边检验条件，得到 $𝑘 = 𝑧_{\frac{𝛼}{2}}$ ，因而拒绝域为：

事实上，解接受域不等式，得到的就是这个情况下的置信水平为 $1 - 𝛼$ 的双侧置信区间。

(2)未知方差 $𝜎^{2}$

对于假设：

𝐻_{0} : 𝜇 = 𝜇_{0} 𝐻_{1} : 𝜇 \neq 𝜇_{0}

用样本方差 $𝑆^{2}$ 代替 $𝜎^{2}$ ：

接受域为：

解接受域得置信区间为：

拒绝域为：

2.单个总体 $𝑁 (𝜇, 𝜎^{2})$ ，方差 $𝜎^{2}$ 的检验

对于假设：

𝐻_{0} : 𝜎^{2} = 𝜎_{0}^{2} 𝐻_{1} : 𝜎^{2} \neq 𝜎_{0}^{2}

使用 $𝜒^{2}$ 分布：

\frac{(𝑛 - 1) 𝑆^{2}}{𝜎_{0}^{2}} \sim 𝜒^{2} (𝑛 - 1)

接受域为：

𝜒_{1 - \frac{𝛼}{2}}^{2} (𝑛 - 1) < \frac{(𝑛 - 1) 𝑆^{2}}{𝜎_{0}^{2}} < 𝜒_{\frac{𝛼}{2}}^{2} (𝑛 - 1)

置信区间为：

(\frac{(𝑛 - 1) 𝑆^{2}}{𝜒_{\frac{𝛼}{2}}^{2} (𝑛 - 1)}, \frac{(𝑛 - 1) 𝑆^{2}}{𝜒_{1 - \frac{𝛼}{2}}^{2} (𝑛 - 1)})

拒绝域为：

\frac{(𝑛 - 1) 𝑆^{2}}{𝜎_{0}^{2}} \leq 𝜒_{1 - \frac{𝛼}{2}}^{2} (𝑛 - 1) 或 \frac{(𝑛 - 1) 𝑆^{2}}{𝜎_{0}^{2}} \geq 𝜒_{\frac{𝛼}{2}}^{2} (𝑛 - 1)

3.两个总体 $𝑁 (𝜇_{1}, 𝜎_{1}^{2}), 𝑁 (𝜇_{2}, 𝜎_{2}^{2})$ ，均值差 $𝜇_{1} - 𝜇_{2}$ 的检验

(1)已知方差 $𝜎_{1}^{2}, 𝜎_{2}^{2}$

对于假设：

𝐻_{0} : 𝜇_{1} - 𝜇_{2} = 𝛿 𝐻_{1} : 𝜇_{1} - 𝜇_{2} \neq 𝛿

线性组合的标准化变量：

接受域为：

置信区间：

(𝛿 \pm \sqrt{\frac{𝜎_{1}^{2}}{𝑛_{1}} + \frac{𝜎_{2}^{2}}{𝑛_{2}}} 𝑧_{\frac{𝛼}{2}})

拒绝域：

(2)未知方差但两个方差相等 $𝜎_{1}^{2} = 𝜎_{2}^{2} = 𝜎^{2}$

记 $𝑆_{𝑊}^{2} = \frac{(𝑛_{1} - 1) 𝑆_{1}^{2} + (𝑛_{2} - 1) 𝑆_{2}^{2}}{𝑛_{1} + 𝑛_{2} - 2}$ ，对于假设：

𝐻_{0} : 𝜇_{1} - 𝜇_{2} = 𝛿 𝐻_{1} : 𝜇_{1} - 𝜇_{2} \neq 𝛿

有：

接受域：

置信区间：

拒绝域：

4.两个总体 $𝑁 (𝜇_{1}, 𝜎_{1}^{2}), 𝑁 (𝜇_{2}, 𝜎_{2}^{2})$ ，方差比 $\frac{𝜎_{1}^{2}}{𝜎_{2}^{2}}$ 的检验

注意这个情况下，我们检验的实际是 $𝜎_{1}^{2}, 𝜎_{2}^{2}$ 之间的大小。因此接受域的形式与置信区间稍有不同。对于假设：

𝐻_{0} : 𝜎_{1}^{2} = 𝜎_{2}^{2} 𝐻_{1} : 𝜎_{1}^{2} \neq 𝜎_{2}^{2}

有：

\frac{\frac{𝑆_{1}^{2}}{𝑆_{2}^{2}}}{\frac{𝜎_{1}^{2}}{𝜎_{2}^{2}}} \sim 𝐹 (𝑛_{1} - 1, 𝑛_{2} - 1)

在接受假设 $𝐻_{0}$ 的情况下，可以写为：

\frac{𝑆_{1}^{2}}{𝑆_{2}^{2}} \sim 𝐹 (𝑛_{1} - 1, 𝑛_{2} - 1)

这样，接受域就是：

𝐹_{1 - \frac{𝛼}{2}} (𝑛_{1} - 1, 𝑛_{2} - 1) < \frac{𝑆_{1}^{2}}{𝑆_{2}^{2}} < 𝐹_{\frac{𝛼}{2}} (𝑛_{1} - 1, 𝑛_{2} - 1)

拒绝域就是：

\frac{𝑆_{1}^{2}}{𝑆_{2}^{2}} \leq 𝐹_{1 - \frac{𝛼}{2}} (𝑛_{1} - 1, 𝑛_{2} - 1) 或 \frac{𝑆_{1}^{2}}{𝑆_{2}^{2}} \geq 𝐹_{\frac{𝛼}{2}} (𝑛_{1} - 1, 𝑛_{2} - 1)

5.成对数据具有显著差异的检验

假设有 $𝑛$ 对数据： $(𝑋_{1}, 𝑌_{1}), (𝑋_{2}, 𝑌_{2}), \dots, (𝑋_{𝑛}, 𝑌_{𝑛})$ ，令 $𝐷_{𝑖} = 𝑋_{𝑖} - 𝑌_{𝑖}$ ，并且 $𝐷_{𝑖} \sim 𝑁 (𝜇_{𝐷}, 𝜎_{𝐷}^{2})$ ，那么这些数据对不具有显著差异的条件显然就是在一定概率下 $𝜇_{𝐷} = 0$ 。对于假设：

𝐻_{0} : 𝜇_{𝐷} = 0 𝐻_{1} : 𝜇_{𝐷} \neq 0

显然这个检验可以归结为未知 $𝜎^{2}$ 的单个总体对均值 $𝜇$ 的检验。也就是若记样本均值为，样本方差为 $𝑠$ ，那么：

因此接受域为：

拒绝域为：

三、正态总体的单边假设检验

与双边假设检验完全类似，可以归结为对参数的置信区间的计算，因此不再赘述。