概率论（二）——二维随机变量

一、二维随机变量

对于同一个样本空间，不同的随机变量可能衡量不同的方面。但因为这些随机变量都来自于同一个样本空间，它们之间极有可能存在某些联系。在最简单的情况下，取两个随机变量 $𝑋, 𝑌$ ，它们构成一个随机变量 $(𝑋, 𝑌)$ ，这个整体称为二维随机变量。

1.联合分布函数

类似于一维随机变量中的情况，无论离散抑或连续，都能用分布函数来描述概率。对于二维随机变量，其分布函数定义为：

𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑃 ((𝑋 \leq 𝑥) \cap (𝑌 \leq 𝑦)) = 𝑃 (𝑋 \leq 𝑥, 𝑌 \leq 𝑦)

称为随机变量 $𝑋$ 和 $𝑌$ 的联合分布函数。例如利用之计算如下概率：

𝑃 (𝑥_{1} < 𝑋 \leq 𝑥_{2}, 𝑦_{1} < 𝑌 \leq 𝑦_{2}) = 𝐹 (𝑥_{2}, 𝑦_{2}) - 𝐹 (𝑥_{1}, 𝑦_{2}) - 𝐹 (𝑥_{2}, 𝑦_{1}) + 𝐹 (𝑥_{1}, 𝑦_{1})

与一维随机变量中一样，联合分布函数是关于 $𝑥$ 或 $𝑦$ 的非严格递增的非负函数。并且：

𝐹 (𝑥, - \infty) = 𝐹 (- \infty, 𝑦) = 𝐹 (- \infty, - \infty) = 0 𝐹 (+ \infty, + \infty) = 1

当然，在离散型二维随机变量的情况下，我们会更常以离散的形式 $𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖}, 𝑌 = 𝑦_{𝑗}) = 𝑝_{𝑖 𝑗}$ 、或表格的形式来给出分布律，此时称为联合分布律。于是根据联合分布函数的定义，离散型二维随机变量的联合分布函数可以从联合分布律中求出：

𝐹 (𝑥, 𝑦) = \sum_{𝑥_{𝑖} \leq 𝑥} \sum_{𝑦_{𝑗} \leq 𝑦} 𝑝_{𝑖 𝑗}

2.联合概率密度

与一维随机变量类似，将离散化为连续，就能得到连续型的概率密度函数。将上式化为黎曼积分：

𝐹 (𝑥, 𝑦) = \int_{- \infty}^{𝑦} \int_{- \infty}^{𝑥} 𝑓 (𝑢, 𝑣) 𝑑 𝑢 𝑑 𝑣

函数 $𝑓 (𝑥, 𝑦)$ 就称为随机变量 $𝑋$ 和 $𝑌$ 的联合概率密度。在连续的情况下，上式连续分别对 $𝑋$ 和 $𝑌$ 做偏导即得：

𝑓 (𝑥, 𝑦) = \frac{𝜕^{2} 𝐹 (𝑥, 𝑦)}{𝜕 𝑥 𝜕 𝑦}

而由概率的归一性，应有：

\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 = 𝐹 (+ \infty, + \infty) = 1

3.边缘分布函数

联合分布函数综合考量了两个变量间的联系，但有时我们希望只考察其中一个变量。从联合分布函数可以轻松地得到各变量自身的分布函数：

𝐹_{𝑋} (𝑥) = 𝑃 (𝑋 \leq 𝑥) = 𝑃 (𝑋 \leq 𝑥, 𝑌 \leq + \infty) = 𝐹 (𝑥, + \infty)

同理 $𝐹_{𝑌} (𝑦) = 𝐹 (+ \infty, 𝑦)$ ，即只需要在联合分布函数中令其余变量趋于正无穷即可。上述的符号 $𝐹_{𝑋} (𝑥), 𝐹_{𝑌} (𝑦)$ 称为各自变量的边缘分布函数。

而对于离散型变量，在已知联合分布律的情况下，也有以下两式：

𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖}) = \sum_{𝑗 = 1}^{+ \infty} 𝑝_{𝑖 𝑗} = 𝑝_{𝑖 \cdot} \ 𝑃 (𝑌 = 𝑦_{𝑗}) = \sum_{𝑖 = 1}^{+ \infty} 𝑝_{𝑖 𝑗} = 𝑝_{\cdot 𝑗}

其中 $𝑝_{𝑖 \cdot}, 𝑝_{\cdot 𝑗}$ 称为各自变量的边缘分布律。

4.边缘概率密度

从边缘分布函数出发，我们可以得到边缘概率密度。由于：

𝐹_{𝑋} (𝑥) = 𝐹 (𝑥, + \infty) = \int_{- \infty}^{𝑥} [\int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑦] 𝑑 𝑥

因此中括号中的内容，也可以看成是一种概率密度！我们定义：

𝑓_{𝑋} (𝑥) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑦 \ 𝑓_{𝑌} (𝑦) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑥

将 $𝑓_{𝑋} (𝑥), 𝑓_{𝑌} (𝑦)$ 称为各自变量的边缘概率密度。

二、条件分布

1.离散型的条件分布

由条件概率的定义式，可以非常简单地得到离散型二维随机变量的条件分布。即：

𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖} | 𝑌 = 𝑦_{𝑗}) = \frac{𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖}, 𝑌 = 𝑦_{𝑗})}{𝑃 (𝑌 = 𝑦_{𝑗})} = \frac{𝑝_{𝑖 𝑗}}{𝑝_{\cdot 𝑗}}

同理 $𝑃 (𝑌 = 𝑦_{𝑗} | 𝑋 = 𝑥_{𝑖}) = \frac{𝑝_{𝑖 𝑗}}{𝑝_{𝑖 \cdot}}$ 。这两条式子分别称为在 $𝑌 = 𝑦_{𝑗}$ ， $𝑋 = 𝑥_{𝑖}$ 情况下各自变量的条件分布律。

2.连续型的条件概率密度

与离散型随机变量具有类比性，可以直接写出两条式子：

\begin{matrix} 𝑓_{𝑋 | 𝑌} (𝑥, 𝑦) = \frac{𝑓 (𝑥, 𝑦)}{𝑓_{𝑌} (𝑦)} \\ 𝑓_{𝑌 | 𝑋} (𝑦, 𝑥) = \frac{𝑓 (𝑥, 𝑦)}{𝑓_{𝑋} (𝑥)} \end{matrix}

$𝑓_{𝑋 | 𝑌} (𝑥, 𝑦), 𝑓_{𝑌 | 𝑋} (𝑦, 𝑥)$ 分别称为在 $𝑌 = 𝑦$ ， $𝑋 = 𝑥$ 条件下各自变量的条件概率密度。

注 1.（连续型条件概率密度的导出）

事实上，由于在连续型随机变量中， $𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝑃 (𝑌 = 𝑦) = 0$ ，是无法直接从 $𝑃 (𝑋 = 𝑥 | 𝑌 = 𝑦)$ 的定义式中直接导出上式的。以 $𝑌 = 𝑦$ 为条件为例，我们采取的方法是考虑 $𝑌$ 在 $[𝑦, 𝑦 + 𝜖]$ 的极小区间内的概率、及 $𝑋$ 在 $(- \infty, 𝑥]$ 内的概率。即：

𝑃 (𝑋 \leq 𝑥 | 𝑦 \leq 𝑌 \leq 𝑦 + 𝜖) = \frac{\int_{- \infty}^{𝑥} \int_{𝑦}^{𝑦 + 𝜖} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑦 𝑑 𝑥}{\int_{𝑦}^{𝑦 + 𝜖} 𝑓_{𝑌} (𝑦) 𝑑 𝑦}

利用微分的近似式 $𝑓^{'} (𝑥) = \frac{𝑑 𝑦}{𝑑 𝑥} \Rightarrow 𝑑 𝑦 = 𝑓^{'} (𝑥) 𝑑 𝑥$ ，上式可以化为：

𝑃 (𝑋 \leq 𝑥 | 𝑦 \leq 𝑌 \leq 𝑦 + 𝜖) = \frac{𝜖 \int_{- \infty}^{𝑥} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑥}{𝜖 𝑓_{𝑌} (𝑦)}

上式的分子分母同时消去小量 $𝜖$ 之后，由于 $𝑓_{𝑌} (𝑦)$ 与 $𝑥$ 无关，显然对于分子的积分来说它相当于“常数”，可以直接合并到积分号中：

𝑃 (𝑋 \leq 𝑥 | 𝑦 \leq 𝑌 \leq 𝑦 + 𝜖) = \int_{- \infty}^{𝑥} \frac{𝑓 (𝑥, 𝑦)}{𝑓_{𝑌} (𝑦)} 𝑑 𝑥

由形式推断，

\frac{𝑓 (𝑥, 𝑦)}{𝑓_{𝑌} (𝑦)}

显然是一种概率密度，称为条件概率密度。

从条件概率密度可以推出条件分布函数：

𝐹_{𝑋 | 𝑌} (𝑥, 𝑦) = 𝑃 (𝑋 \leq 𝑥 | 𝑌 = 𝑦) = \int_{- \infty}^{𝑥} 𝑓_{𝑋 | 𝑌} (𝑥 | 𝑦) 𝑑 𝑥 \ 𝐹_{𝑌 | 𝑋} (𝑦, 𝑥) = \int_{- \infty}^{𝑦} 𝑓_{𝑌 | 𝑋} (𝑦 | 𝑥) 𝑑 𝑦

三、变量间的关系

1.变量间相互独立

假若二维随机变量 $(𝑋, 𝑌)$ 的联合分布函数恰好可以拆为各自变量的边缘分布函数的乘积，即：

𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝐹_{𝑋} (𝑥) 𝐹_{𝑌} (𝑦)

那么称随机变量 $𝑋$ 和 $𝑌$ 是相互独立的。这对于离散型随机变量来说，即：

𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖}, 𝑌 = 𝑦_{𝑖}) = 𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖}) \cdot 𝑃 (𝑌 = 𝑦_{𝑖})

而对于连续型随机变量来说，即：

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓_{𝑋} (𝑥) 𝑓_{𝑌} (𝑦)

2.协方差与相关系数

在上篇文章一维随机变量的分布、期望与方差中，我们知道两个随机变量之和的方差需要如下计算：

𝐷 (𝑋 + 𝑌) = 𝐷 (𝑋) + 𝐷 (𝑌) + 2 Cov (𝑋, 𝑌)

其中 $Cov (𝑋, 𝑌)$ 称为 $𝑋, 𝑌$ 的协方差，它本身如下计算：

定义 1.（协方差）

Cov (𝑋, 𝑌) = 𝐸 [(𝑋 - 𝐸 (𝑋)) \cdot (𝑌 - 𝐸 (𝑌))] = 𝐸 (𝑋 𝑌) - 𝐸 (𝑋) 𝐸 (𝑌)

由期望相关内容可知，当 $𝑋, 𝑌$ 相互独立的时候，因 $𝐸 (𝑋 𝑌) = 𝐸 (𝑋) 𝐸 (𝑌)$ ，因此此时协方差为 $0$ 。这说明协方差可以刻画变量间的独立性。同时，再定义相关系数：

定义 2.（相关系数）

𝜌 = \frac{Cov (𝑋, 𝑌)}{\sqrt{𝐷 (𝑋)} \cdot \sqrt{𝐷 (𝑌)}}

相关系数描述的是两个随机变量间的线性相关性(就是线性回归问题中的线性相关性！)。当相关系数为 $0$ 时，称两个变量间不相关；当相关系数为 $1$ 时，说明两个变量间一定存在线性关系。

观察发现相关系数的分子就是协方差，这意味着相关系数与协方差若有一者为 $0$ 、则另一者也必为 $0$ (不考虑方差为 $0$ 的情况)。但是，这不说明独立与不相关有必然联系！ ¹¹ 这其中的关系是：如果两个变量间独立，那么协方差必为 $0$ ，相关系数也必为 $0$ ，因此两个变量间不相关；但协方差为 $0$ 不代表两个变量间独立！以离散型为例，根据独立性的定义， $𝑋, 𝑌$ 必须要在每一对任意的取值 $(𝑥_{𝑖}, 𝑦_{𝑗})$ 上都满足 $𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖}, 𝑌 = 𝑦_{𝑗}) = 𝑃 (𝑋 = 𝑥_{𝑖}) \cdot 𝑃 (𝑌 = 𝑦_{𝑗})$ 才称为相互独立，这是比协方差为 $0$ 要严格得多的条件！也就是说，变量间相互独立可以推出变量间不相关，但变量间不相关不能推出变量间相互独立！

四、两个随机变量的函数的分布

这一部分亦是概率论中的一大难点。与一维随机变量的情况相似，只需记住“分布函数是概率与概率密度之间的桥梁”即可。

1. $𝑍 = 𝑋 + 𝑌$ 的分布

若 $𝑍 = 𝑋 + 𝑌$ ，那么：

\begin{aligned} 𝐹_{𝑍} (𝑧) & = 𝑃 (𝑍 \leq 𝑧) = \iint_{𝑥 + 𝑦 \leq 𝑧} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{𝑧 - 𝑦} 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 \\ \overset{𝑥 = 𝑢 - 𝑦}{=} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{𝑧} 𝑓 (𝑢 - 𝑦, 𝑦) 𝑑 𝑢 𝑑 𝑦 \\ = \int_{- \infty}^{𝑧} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑢 - 𝑦, 𝑦) 𝑑 𝑦 𝑑 𝑢 \end{aligned}

两端求导即得：

𝑓_{𝑍} (𝑧) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑧 - 𝑦, 𝑦) 𝑑 𝑦

在二重积分展开为累次积分时交换积分次序，也可以得到：

𝑓_{𝑍} (𝑧) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑥, 𝑧 - 𝑥) 𝑑 𝑥

当然，在变量相互独立的情况下，也能拆为：

𝑓_{𝑍} (𝑧) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓_{𝑋} (𝑥) 𝑓_{𝑌} (𝑧 - 𝑥) 𝑑 𝑥 = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓_{𝑋} (𝑧 - 𝑦) 𝑓_{𝑌} (𝑦) 𝑑 𝑦

2. $𝑍 = 𝑋 𝑌$ 的分布

接下来不再演示推导。当 $𝑍 = 𝑋 𝑌$ ：

𝑓_{𝑍} (𝑧) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{| 𝑥 |} 𝑓 (𝑥, \frac{𝑧}{𝑥}) 𝑑 𝑥

在变量相互独立的情况下：

𝑓_{𝑍} (𝑧) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{| 𝑥 |} 𝑓_{𝑋} (𝑥) 𝑓_{𝑌} (\frac{𝑧}{𝑥}) 𝑑 𝑥

3. $𝑍 = \frac{𝑋}{𝑌}$ 的分布

当 $𝑍 = \frac{𝑋}{𝑌}$ ：

𝑓_{𝑍} (𝑧) = \int_{- \infty}^{+ \infty} | 𝑥 | 𝑓 (𝑥, \frac{𝑥}{𝑧}) 𝑑 𝑥

在变量相互独立的情况下：

𝑓_{𝑍} (𝑧) = \int_{- \infty}^{+ \infty} | 𝑥 | 𝑓_{𝑋} (𝑥) 𝑓_{𝑌} (\frac{𝑥}{𝑧}) 𝑑 𝑥

4. $𝑍 = max {𝑋, 𝑌}$ 的分布

在这里我们要求 $𝑋, 𝑌$ 相互独立。当 $𝑍 = max {𝑋, 𝑌}$ ：

𝐹_{𝑍} (𝑧) = 𝐹_{𝑋} (𝑧) 𝐹_{𝑌} (𝑧)

如果有 $𝑛$ 个相互独立的变量 $𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}$ ，若 $𝑍 = max {𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}}$ ：

𝐹_{𝑍} (𝑧) = 𝐹_{𝑋_{1}} (𝑧) \cdot 𝐹_{𝑋_{2}} (𝑧) \cdot \dots \cdot 𝐹_{𝑋_{𝑛}} (𝑧)

如果这 $𝑛$ 个变量具有相同的分布函数，那么：

𝐹_{𝑍} (𝑧) = 𝐹_{𝑋}^{𝑛 (𝑧)}

5. $𝑍 = min {𝑋, 𝑌}$ 的分布

同样要求 $𝑋, 𝑌$ 相互独立。当 $𝑍 = min {𝑋, 𝑌}$ ：

𝐹_{𝑍} (𝑧) = 1 - [1 - 𝐹_{𝑋} (𝑧)] [1 - 𝐹_{𝑌} (𝑧)]

如果有 $𝑛$ 个相互独立的变量 $𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}$ ，若 $𝑍 = min {𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}}$ ：

𝐹_{𝑍} (𝑧) = 1 - (1 - 𝐹_{𝑋_{1}} (𝑧)) (1 - 𝐹_{𝑋_{2}} (𝑧)) \dots (1 - 𝐹_{𝑋_{𝑛}} (𝑧))

如果这 $𝑛$ 个变量具有相同的分布函数，那么：

𝐹_{𝑍} (𝑧) = 1 - {[1 - 𝐹_{𝑋} (𝑧)]}^{𝑛}

五、二维随机变量的期望

严格来说我们要求的并不是“二维随机变量”这个整体的期望，而是“两个随机变量的函数”的期望。假设两个随机变量 $𝑋, 𝑌$ ，它们的联合概率密度是 $𝑓 (𝑥, 𝑦)$ ，那么由函数生成的一维(连续型)随机变量 $𝑍 = 𝑔 (𝑋, 𝑌)$ 的期望如下计算：

𝐸 (𝑍) = 𝐸 (𝑔 (𝑋, 𝑌)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑔 (𝑥, 𝑦) 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦

与之类似，在离散情况下：

𝐸 (𝑍) = 𝐸 (𝑔 (𝑋, 𝑌)) = \sum_{𝑖 = 1}^{+ \infty} \sum_{𝑗 = 1}^{+ \infty} 𝑔 (𝑥_{𝑖}, 𝑦_{𝑗}) 𝑝_{𝑖 𝑗}

变量相互独立情况下， $𝐸 (𝑋 + 𝑌) = 𝐸 (𝑋) + 𝐸 (𝑌), 𝐸 (𝑋 𝑌) = 𝐸 (𝑋) 𝐸 (𝑌)$ 就是依据上述证明。

六、二维正态分布

到目前为止，以上的所有内容都可以推广到 $𝑛$ 维随机变量中。在这里顺便简单介绍多维正态分布中最简单的二维正态分布。二维正态分布的概率密度为：

𝑓 (𝑥, 𝑦) = \frac{1}{2 𝜋 𝜎_{1} 𝜎_{2} \sqrt{1 - 𝜌^{2}}} \cdot exp (- \frac{1}{2 (1 - 𝜌^{2})} \cdot (\frac{{(𝑥 - 𝜇_{1})}^{2}}{𝜎_{1}^{2}} + \frac{{(𝑦 - 𝜇_{2})}^{2}}{𝜎_{2}^{2}} - 2 𝜌 \cdot \frac{(𝑥 - 𝜇_{1}) (𝑦 - 𝜇_{2})}{𝜎_{1} 𝜎_{2}}))

在这里，显然 $𝜇_{1}, 𝜎_{1}, 𝜇_{2}, 𝜎_{2}, 𝜌$ 分别是 $𝑋$ 的期望与方差、 $𝑌$ 的期望与方差、 $𝑋, 𝑌$ 的相关系数。容易求得各变量的边缘分布函数为：

\begin{matrix} 𝑓_{𝑋} (𝑥) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋} 𝜎_{1}} e^{- \frac{(𝑥 - 𝜇_{1}^{2})}{2 𝜎_{1}^{2}}} \\ 𝑓_{𝑌} (𝑦) = \frac{1}{\sqrt{2 𝜋} 𝜎_{2}} e^{- \frac{(𝑦 - 𝜇_{2}^{2})}{2 𝜎_{2}^{2}}} \end{matrix}

这显然是各自变量的一维正态分布。由于一维正态分布中不含相关系数 $𝜌$ ，显然 $𝑓 (𝑥, 𝑦) \neq 𝑓_{𝑋} (𝑥) 𝑓_{𝑌} (𝑦)$ ，只有在 $𝜌 = 0$ 即变量不相关的情况下才存在 $𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓_{𝑋} (𝑥) 𝑓_{𝑌} (𝑦)$ ，这也说明变量相互独立。 ²² 这里似乎与之前所说“变量间不相关不能推出变量间相互独立”矛盾？实际上对于二维正态分布来说，变量间不相关与变量间相互独立确是等价的概念。

七、矩与协方差矩阵

这部分只是简单的扩展，之于本节而言并不重要。

1.矩

首先简单介绍矩的概念。在所求量存在的情况下：

定义 3.（各阶矩）

(1)

𝐸 (𝑋^{𝑘})

称为

𝑋

的

𝑘

阶原点矩，简称

𝑘

阶矩；
(2)

𝐸 ({(𝑋 - 𝐸 (𝑋))}^{𝑘})

称为

𝑋

的

𝑘

阶中心矩；
(3)

𝐸 (𝑋^{𝑘} 𝑌^{𝑙})

称为

𝑋

和

𝑌

的

𝑘 + 𝑙

阶混合矩；
(4)

𝐸 ({(𝑋 - 𝐸 (𝑋))}^{𝑘} {(𝑌 - 𝐸 (𝑌))}^{𝑙})

称为

𝑋

和

𝑌

的

𝑘 + 𝑙

阶混合中心矩。

数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是二阶混合中心矩。

2.协方差矩阵

接下来简单给出协方差矩阵的概念。假设有 $𝑛$ 维随机变量 $𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}$ ，那么任意两个变量间的二阶混合中心矩(协方差)记为：

𝑐_{𝑖 𝑗} = Cov (𝑋_{𝑖}, 𝑋_{𝑗})

显然这个 $𝑛$ 维随机变量有 $𝑛 \times 𝑛 = 𝑛^{2}$ 个二阶混合中心矩，这可以构成一个 $𝑛$ 阶的方阵，称为协方差矩阵，即：

𝑪 = [\begin{matrix} 𝑐_{11} & 𝑐_{12} & \dots & 𝑐_{1 𝑛} \\ 𝑐_{21} & 𝑐_{22} & \dots & 𝑐_{2 𝑛} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 𝑐_{𝑛 1} & 𝑐_{𝑛 2} & \dots & 𝑐_{𝑛 𝑛} \end{matrix}]

这显然是一个对称矩阵。这样，如果用列向量分别标记随机变量和对应的期望，即：

𝑿 = [\begin{matrix} 𝑥_{1} \\ 𝑥_{2} \\ ⋮ \\ 𝑥_{𝑛} \end{matrix}], 𝝁 = [\begin{matrix} 𝜇_{1} \\ 𝜇_{2} \\ ⋮ \\ 𝜇_{𝑛} \end{matrix}]

那么 $𝑛$ 维正态分布就能非常简单地记为：

𝑓 (𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}) = \frac{1}{{(2 𝜋)}^{\frac{𝑛}{2}} \cdot \sqrt{| 𝑪 |}} \cdot exp (- \frac{1}{2} {(𝑿 - 𝝁)}^{𝑇} 𝑪^{- 1} (𝑿 - 𝝁))