信号系统（一）——简单信号与系统的性质

一、信号

1.连续时间信号和离散时间信号

信号基本上就是关于时间的函数，研究信号就是研究函数的性质。只不过，信号相比于函数更有一点“现实”的意味，更加贴近真实世界。

信号分为连续时间信号和离散时间信号。这两者虽然在数学本质上不尽相同，但后面我们会发现在各种计算中，两者都有几乎相同的表现——无非就是离散者用求和、连续者用积分，将求和稠密化或是将积分离散化都能使其形式相互转化。

为了从数学符号上就能体现两者的差异，连续时间信号以 $𝑥 (𝑡)$ 表示，离散时间信号以 $𝑥 [𝑛]$ 表示。离散信号只能在整数时间上取值。值得注意的是，必须时刻谨记，信号的取值可以是复数。

2.信号的能量与功率

我们知道，对于一个电阻，它在一段时间内消耗的能量、及其平均功率是：

𝐸 = \int_{𝑡_{1}}^{𝑡_{2}} 𝐼^{2} (𝑡) 𝑅 𝑑 𝑡, 𝑃 = \frac{𝐸}{𝑡_{2} - 𝑡_{1}} = \frac{1}{𝑡_{2} - 𝑡_{1}} \int_{𝑡_{1}}^{𝑡_{2}} 𝐼^{2} (𝑡) 𝑅 𝑑 𝑡

可以以相似的算法定义信号的能量及功率。在数学上，系数 $𝑅$ 是完全可以忽略掉的，因此定义连续信号的能量与功率(注意信号可以是复量，因此需要首先取模再平方)：

定义 1.（连续信号的能量与功率）

𝐸 = \int_{𝑡_{1}}^{𝑡_{2}} {| 𝑥 (𝑡) |}^{2} 𝑑 𝑡, 𝑃 = \frac{1}{𝑡_{2} - 𝑡_{1}} \int_{𝑡_{1}}^{𝑡_{2}} {| 𝑥 (𝑡) |}^{2} 𝑑 𝑡

类似地，将上述积分离散化，即得离散信号的能量与功率：

定义 2.（离散信号的能量与功率）

𝐸 = \sum_{𝑛 = 𝑛_{1}}^{𝑛_{2}} {| 𝑥 [𝑛] |}^{2}, 𝑃 = \frac{1}{𝑛_{2} - 𝑛_{1}} \sum_{𝑛 = 𝑛_{1}}^{𝑛_{2}} {| 𝑥 [𝑛] |}^{2}

当我们将积分(求和)区间取为全体实数，也就是上下限为正负无穷时，就可以通过能量与功率区分信号的性质：

命题 1.（能量与功率关于信号的性质）

当 $𝐸 = \int_{- \infty}^{+ \infty} {| 𝑥 (𝑡) |}^{2} 𝑑 𝑡$ 或 $𝐸 = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} {| 𝑥 [𝑛] |}^{2}$ 收敛，那么必有 $𝑃 = 0$ 。这类信号具有有限能量与为 $0$ 的功率。
当 $𝑃$ 收敛，那么 $𝐸$ 必然发散。这类信号的功率是有限值，而能量是无限的。
当 $𝑃$ 发散，那么 $𝐸$ 也必然发散。这类信号的功率和能量都是无限的。

3.信号的奇偶与周期

对于信号 $𝑥 (𝑡)$ ¹¹ 在这一小节中，连续信号和离散信号是一样的，因此这个函数同时也指代离散信号，当我们对时间做变换 $𝑡 \to - 𝑡$ ，那么相当于将时间反演；做变换 $𝑡 \to 𝑡 - 𝑡_{0}$ ，那么相当于将时间延后了 $𝑡_{0}$ 。

一些信号在做时间反演时并不产生变化，也就是 $𝑥 (𝑡) = 𝑥 (- 𝑡)$ ，那么这是一个偶信号。有一些在时间反演后会反相，也就是 $𝑥 (𝑡) = - 𝑥 (- 𝑡)$ ，那么这是一个奇信号。信号并非非奇即偶，也有些信号既非偶信号也非奇信号。

一些信号在特定的 $𝑡_{0}$ 下做时间平移时不产生变化，也就是 $𝑥 (𝑡) = 𝑥 (𝑡 - 𝑡_{0})$ ，那么这是一个周期信号，并将 $𝑡_{0}$ 称为它的周期。对于周期信号而言，不论将时间延后周期的多少整数倍，它都必然不产生变化，也就是 $𝑥 (𝑡) = 𝑥 (𝑡 - 𝑘 𝑡_{0})$ 。在各周期中，存在一个最小的正数 $𝑇_{0}$ 使得 $𝑇_{0}$ 是这个信号的周期，那么 $𝑇_{0}$ 称为它的基波周期。

一些信号并不能找到 $𝑡_{0}$ 使其符合 $𝑥 (𝑡) = 𝑥 (𝑡 - 𝑡_{0})$ ，那么这是一个非周期信号。信号要么是周期的，要么是非周期的。

让我们重新看回函数的奇偶性。对于任意信号 $𝑥 (𝑡)$ ，能否找到一对奇偶信号，使得这对信号的叠加就是 $𝑥 (𝑡)$ ？答案是肯定的。不妨将这对奇偶信号的偶信号记为 $ℰ︀𝓋︀ (𝑥 (𝑡))$ ，奇信号记为 $𝒪︀𝒹︀ (𝑥 (𝑡))$ ，那么：

{\begin{cases} ℰ︀𝓋︀ (𝑥 (𝑡)) + 𝒪︀𝒹︀ (𝑥 (𝑡)) = 𝑥 (𝑡) \\ ℰ︀𝓋︀ (𝑥 (𝑡)) - 𝒪︀𝒹︀ (𝑥 (𝑡)) = 𝑥 (- 𝑡) \end{cases}

上列第二方程是第一方程时间反演后的结果，解得：

{\begin{cases} ℰ︀𝓋︀ (𝑥 (𝑡)) = \frac{1}{2} (𝑥 (𝑡) + 𝑥 (- 𝑡)) \\ 𝒪︀𝒹︀ (𝑥 (𝑡)) = \frac{1}{2} (𝑥 (𝑡) - 𝑥 (- 𝑡)) \end{cases}

定义 3.（信号的奇部和偶部）

将

ℰ︀𝓋︀ (𝑥 (𝑡))

称为信号

𝑥 (𝑡)

的偶部，

𝒪︀𝒹︀ (𝑥 (𝑡))

称为

𝑥 (𝑡)

的奇部。

二、指数信号与正弦信号

实际上，由于欧拉公式 $e^{i 𝜃} = cos 𝜃 + i sin 𝜃$ ，指数函数与正弦(余弦)函数之间是可互化的。因此，讨论指数信号，就相当于已经讨论了正弦信号。仿照上述求信号偶部奇部的做法：

{\begin{cases} cos 𝜃 + i sin 𝜃 = e^{i 𝜃} \\ cos 𝜃 - i sin 𝜃 = e^{- i 𝜃} \end{cases}

解得：

{\begin{cases} cos 𝜃 = \frac{1}{2} (e^{i 𝜃} + e^{- i 𝜃}) \\ sin 𝜃 = \frac{1}{2 i} (e^{i 𝜃} - e^{- i 𝜃}) \end{cases}

1.连续时间的指数信号

连续时间的指数信号的通式是：

𝑥 (𝑡) = 𝐴 e^{𝛼 𝑡}

其中 $𝐴, 𝛼$ 并不限制在实数域内。当 $𝐴, 𝛼$ 都是实数时，这样的实指数函数我们都已非常熟悉，不再介绍；而其它的指数信号总能由一个基本的指数函数得来，即限制 $𝐴$ 为实数 $1$ ，而 $𝛼$ 为纯虚数 $j 𝜔_{0}$ ：

𝑥 (𝑡) = e^{j 𝜔_{0} 𝑡}

由于欧拉公式，显而易见 $e^{j 2 𝑘 𝜋} = 1$ ，因此：

𝑥 (𝑡) = e^{j 𝜔_{0} 𝑡} \cdot 1 = e^{j 𝜔_{0} 𝑡} \cdot e^{j 2 𝑘 𝜋} = e^{j 𝜔_{0} (𝑡 + \frac{2 𝑘 𝜋}{𝜔_{0}})} = 𝑥 (𝑡 + \frac{2 𝑘 𝜋}{𝜔_{0}})

从而 $𝑥 (𝑡)$ 是一个以 $\frac{2 𝑘 𝜋}{𝜔_{0}}$ 为周期的周期信号，且其基波周期为 $\frac{2 𝜋}{𝜔_{0}}$ 。

因此对于正弦余弦信号 $𝑥 (𝑡) = 𝐴 sin (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑), 𝑥 (𝑡) = 𝐴 cos (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑)$ ，可以展开为：

{\begin{cases} 𝐴 sin (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑) = \frac{𝐴}{2 j} (e^{j 𝜑} e^{j 𝜔_{0} 𝑡} - e^{- j 𝜑} e^{- j 𝜔_{0} 𝑡}) \\ 𝐴 cos (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑) = \frac{𝐴}{2} (e^{j 𝜑} e^{j 𝜔_{0} 𝑡} + e^{- j 𝜑} e^{- j 𝜔_{0} 𝑡}) \end{cases}

又或者，直接从欧拉公式出发，写为：

{\begin{cases} 𝐴 sin (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 ℐ︀𝓂︀ (e^{j (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑)}) \\ 𝐴 cos (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑) = 𝐴 ℛ︀ℯ︀ (e^{j (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜑)}) \end{cases}

现在我们来讨论 $𝐴$ 是复数的情况。由于函数 $𝑥 (𝑡) = e^{j 𝜃}$ 既是周期的、又是单位的，因此任意向量形式复数 $𝑎 + j 𝑏$ 总能用指数形式 $e^{j 𝜃}$ 直接表达，也就是：

{\begin{cases} 𝑎 + j 𝑏 = 𝑟 e^{j 𝜃} \\ 𝑟 = \sqrt{𝑎^{2} + 𝑏^{2}} \\ 𝜃 = arctan \frac{𝑏}{𝑎} \end{cases}

那么，总能令 $𝐴 = 𝑅 e^{j 𝜃}$ 来表示 $𝐴$ 这个复数，但又令 $𝛼$ 以向量形式 $𝜑 + j 𝜔_{0}$ 表示，于是：

𝑥 (𝑡) = 𝑅 e^{j 𝜃} e^{(𝜑 + j 𝜔_{0}) 𝑡}

仿照三角函数形式的写法，将后一项写为 $e^{j (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜃)}$ 的形式：

𝑥 (𝑡) = 𝑅 e^{𝜑 𝑡} e^{j (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜃)}

那么，上式中 $e^{j (𝜔_{0} 𝑡 + 𝜃)}$ 显然代表了一个三角函数；但系数 $𝑅 e^{𝜑 𝑡}$ 也是时变的，当 $𝜑 < 0$ 时它随时间变小，限制了三角函数的振幅——称之为阻尼震荡。

2.离散时间的指数信号

让我们直接研究 $𝐴 = 1$ ， $𝛼$ 为纯虚数的情况。此时：

𝑥 [𝑛] = e^{j 𝜔_{0} 𝑛}

由于离散时间是离散取值的，因此在“周期”这种事上与连续时间有极大不同！尽管依然存在 $e^{j 2 𝜋} = 1$ ，但是：

𝑥 [𝑛] = e^{j 𝜔_{0} 𝑛} \cdot e^{j 2 𝜋} = e^{j 𝜔_{0} (𝑛 + \frac{2 𝜋}{𝜔_{0}})} \neq 𝑥 [𝑛 + \frac{2 𝜋}{𝜔_{0}}]

最后一个不等号是在说，尽管形式上 $𝑥 [𝑛] = 𝑥 [𝑛 + \frac{2 𝜋}{𝜔_{0}}]$ ，但实际上，由于 $\frac{2 𝜋}{𝜔_{0}}$ 大概率不是整数，因此 $𝑥 [𝑛 + \frac{2 𝜋}{𝜔_{0}}]$ 这种离散信号大概率根本就是不存在的——也就是说，离散指数信号的基波周期决不能简单地认为是 $\frac{2 𝜋}{𝜔_{0}}$ ！

因此，离散指数信号的基波周期，应当是当 $𝑘$ 取值不同时、一系列 $\frac{2 𝑘 𝜋}{𝜔_{0}}$ 中，能够取到整数值的最小值——注意！有时这甚至是不存在的！有些 $𝜔_{0}$ ，例如无理数 $\sqrt{2}$ ，就会使得离散指数信号根本不存在周期。这就为周期离散指数信号的 $𝜔_{0}$ 的取值提出了要求，即应当存在整数 $𝑚$ 使 $\frac{2 𝑘 𝜋}{𝜔_{0}} = 𝑚$ 成立，也就是 $\frac{2 𝜋}{𝜔_{0}} = \frac{𝑚}{𝑘}$ 成立，也就是 $\frac{2 𝜋}{𝜔_{0}}$ 必须为有理数时才能使这个离散指数信号是周期的。

另一个有趣的点是，对任意自变量 $𝑛$ ，由于 $e^{j 2 𝜋 𝑛} = 1$ 也总是成立的，那么：

𝑥 [𝑛] = e^{j 𝜔_{0} 𝑛} \cdot 1 = e^{j 𝜔_{0} 𝑛} \cdot e^{j 2 𝜋 𝑛} = e^{j (𝜔_{0} + 2 𝜋) 𝑛}

因此让离散指数信号的频率 $𝜔_{0}$ 增加 $2 𝑘 𝜋$ ，那么得到的新离散指数信号与旧的并没有区别！

由于三角函数与指数函数是可互化的，上述的讨论对离散正弦(余弦)信号同样成立。

三、单位阶跃函数

所谓单位阶跃函数，是指一个函数只有两个取值即 $0, 1$ 。当自变量为负数时取 $0$ ，为零和正数的时候取 $1$ ，记为 $𝑢 (𝑡)$ 或 $𝑢 [𝑛]$ 。因此连续时间与离散时间的单位阶跃函数形式上基本是相同的：

定义 4.（单位阶跃函数）

𝑢 (𝑡) = {\begin{cases} 0, 𝑡 < 0 \\ 1, 𝑡 \geq 0 \end{cases} 𝑢 [𝑛] = {\begin{cases} 0, 𝑛 < 0 \\ 1, 𝑛 \geq 0 \end{cases}

四、单位冲激函数

对单位阶跃函数做微分或差分，得到的就是单位冲激函数，记为 $𝛿 (𝑡)$ 或 $𝛿 [𝑛]$ 。或者说，对单位冲激函数做积分或求和，得到的就是单位阶跃函数。

1.离散时间的单位冲激函数

根据上述的定义，容易写出：

\sum_{𝑘 = - \infty}^{𝑛} 𝛿 [𝑘] = 𝑢 [𝑛]

因而对上式做逆运算，得到 $𝛿 [𝑛] = 𝑢 [𝑛] - 𝑢 [𝑛 - 1]$ 。这就容易得到 $𝛿 [𝑛]$ 的解析表达：

𝛿 [𝑛] = {\begin{cases} 0 \\ 𝑛 \neq 0 \\ 1 \\ 𝑛 = 0 \end{cases}

由于 $𝛿 [𝑛]$ 只在 $𝑛 = 0$ 时才取值为 $1$ ，因而对任意信号 $𝑥 [𝑛]$ 总存在：

𝑥 [𝑛] 𝛿 [𝑛] = 𝑥 [0] 𝛿 [𝑛]

当我们对 $𝛿 [𝑛]$ 做时间平移 $𝑛 \to 𝑛 - 𝑛_{0}$ 后，上式可以改写为：

命题 2.（离散单位冲激函数的采样性质）

𝑥 [𝑛] 𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}] = 𝑥 [𝑛_{0}] 𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}]

这称为单位冲激函数的采样性质。

2.连续时间的单位冲激函数

由于单位阶跃函数是不连续的，因此严格来讲单位阶跃函数的微分是不存在的。但是我们暂时回避严谨的问题，只考虑形式上单位冲激函数应当如何得到。由于：

𝑢 (𝑡) = \int_{- \infty}^{𝑡} 𝛿 (𝜏) 𝑑 𝜏, 𝛿 (𝑡) = \frac{𝑑 𝑢 (𝑡)}{𝑑 𝑡}

而 $𝑢 (𝑡)$ 在 $𝑡 = 0$ 的一瞬间就变成了 $1$ 、此后不再变化，因此完全可以设想 $𝛿 (𝑡)$ 是这样一个函数：它只在 $𝑡 = 0$ 时具有一个无穷大但又“确定”的取值，恰恰使得：

\int_{- \infty}^{0} 𝛿 (𝜏) 𝑑 𝜏 = 1

或者应当不严谨地说，连续时间单位冲激函数在 $0$ 处的取值 $𝛿 (0)$ ，恰好与极短时间 $𝑑 𝑡$ 形成的长方形的面积 $𝛿 (0) 𝑑 𝑡 = 1$ 。

与离散情况下完全相同，连续时间单位冲激函数也对连续信号具有采样性质，即：

命题 3.（连续单位冲激函数的采样性质）

\begin{matrix} 𝑥 (𝑡) 𝛿 (𝑡) = 𝑥 (0) 𝛿 (𝑡) \\ 𝑥 (𝑡) 𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0}) = 𝑥 (𝑡_{0}) 𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0}) \end{matrix}

五、系统及其性质

就像信号基本上认为是函数一样，系统也基本上认为是关于两个函数的方程——甚至说，是函数的函数。对系统输入一个信号 $𝑥 (𝑡)$ ，那么也将输出一个信号 $𝑦 (𝑡)$ ：

𝑥 (𝑡) \to 𝑦 (𝑡)

由方程的性质，我们给出系统的六大性质：

1.记忆性

当一个系统的输出仅取决于此时的输入，那么称之为无记忆的。尽管记忆这个词具有“过去”的意味，但实际上，如果系统的输出与未来的输入有关，也会将它定义为记忆的。

一种简单的无记忆系统是恒等系统 $𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡)$ 。一些简单的记忆系统是延时器 $𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡 - 𝑡_{0})$ ，以及累加器 $𝑦 (𝑡) = \int_{- \infty}^{𝑡} 𝑥 (𝜏) 𝑑 𝜏$ 。

2.可逆性

一个系统只要对不同的输入、必有不同的输出，那么它就是可逆的。这就是说，要求这个函数的函数具有反函数。一个简单的不可逆的例子就是 $𝑦 (𝑡) = 𝑥^{2} (𝑡)$ 。

3.因果性

因果性和记忆性有些相像：如果一个系统的输出仅取决于过去和此时的输入，那么称之为因果的。因此，因果性的系统是排斥未来的输入的。并且，如果一个系统的记忆的，那么也必然是因果的。

4.稳定性

当一个系统的输入是有界的、其输出亦是有界的，那么这个系统是稳定的。因此，如果能找到一个有界输入却产生无界输出，就可以证明这个系统是不稳定的、发散的。

5.时不变性

当我们对输入做时间平移 $𝑥 (𝑡) \to 𝑥 (𝑡 - 𝑡_{0})$ 时，输出也做出相同的时间平移变换 $𝑦 (𝑡) \to 𝑦 (𝑡 - 𝑡_{0})$ ，也就是当有 $𝑦 (𝑡) = 𝑓 (𝑥 (𝑡))$ 时必有 $𝑦 (𝑡 - 𝑡_{0}) = 𝑓 (𝑥 (𝑡 - 𝑡_{0}))$ ，那么系统是时不变的。

6.线性

线性可以分为两个部分：可加性与齐次性。可加性是说，任意输入的叠加的输出，等于输入的输出的叠加；也就是当有 $𝑥 (𝑡) \to 𝑦 (𝑡)$ 时，必有 $𝑥_{1} (𝑡) + 𝑥_{2} (𝑡) \to 𝑦_{1} (𝑡) + 𝑦_{2} (𝑡)$ 。

齐次性是说，任意输入按任意比例正比变换之后，输出也按相同比例正比变换。也就是当有 $𝑥 (𝑡) \to 𝑦 (𝑡)$ 时，必有 $𝛼 𝑥 (𝑡) \to 𝛼 𝑦 (𝑡)$ 。值得注意的是， $𝛼$ 并不限定是实数，也可是复数！

一个系统若同时是可加的与齐次的，那么它就是线性的。也就是说，任意输入的线性组合的输出，等于输入的输出按相同权重的线性组合。也就是当有 $𝑥 (𝑡) \to 𝑦 (𝑡)$ 时，必有 $𝛼 𝑥_{1} (𝑡) + 𝛽 𝑥_{2} (𝑡) \to 𝛼 𝑦_{1} (𝑡) + 𝛽 𝑦_{2} (𝑡)$ 。