信号系统（二）——单位冲激函数与卷积

一、卷积和——离散情况

1.离散信号的表示

一般来说，离散信号可以写为解析式的形式，例如 $𝑥 [𝑛] = 𝑓 (𝑛)$ ，或者以列表的形式说明信号在各整数时间点上的取值。这些方法直观又简便。但联想到单位冲激函数：

𝛿 [𝑛] = {\begin{cases} 0, 𝑛 \neq 0 \\ 1, 𝑛 = 0 \end{cases}

如果单取离散时间信号中某一个时间点的值分析，这一小段信号，不就正好是单位冲激函数时移后再加权么！也就是说，任意离散信号总能表达为数个不同时移的单位冲激函数的加权和。例如一个简单的离散信号：

表 1 一个简单的离散信号

$𝑛$	$0$	$1$	$2$
$𝑥 [𝑛]$	$33$	$44$	$55$

就能表示为：

𝑥 [𝑛] = 33 𝛿 [𝑛] + 44 𝛿 [𝑛 - 1] + 55 𝛿 [𝑛 - 2]

那么，在给出离散信号的解析式的情况下，联想到单位冲激函数的采样性质：

𝑥 [𝑛] 𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}] = 𝑥 [𝑛_{0}] 𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}]

显然可以将解析式拆写为单位冲激函数的加权和：

\begin{aligned} 𝑥 [𝑛] & = \dots + 𝑥 [0] 𝛿 [𝑛] + 𝑥 [1] 𝛿 [𝑛 - 1] + 𝑥 [2] 𝛿 [𝑛 - 2] + \dots \\ = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] 𝛿 [𝑛 - 𝑘] \end{aligned}

2.单位脉冲响应

将离散信号从简便的解析式转化为复杂的累加式，当然不是为了让问题复杂化。这个表达式的作用在于，让我们可以非常简便地求出一个线性时不变系统对这个信号的响应——在已知系统的单位脉冲响应的情况下。

不妨假设有一个线性时不变系统，对它仅输入一个简单的单位冲激函数 $𝛿 [𝑛]$ ，如此得到的响应就称为单位脉冲响应，记为 $ℎ [𝑛]$ ：

𝛿 [𝑛] \to ℎ [𝑛]

现在，根据系统的时不变性，显然存在 $𝛿 [𝑛 - 𝑘] \to ℎ [𝑛 - 𝑘]$ 。这是说，将这个最简单的输入做时移，输出也做出对应的时移；再根据系统的线性性，如果输入能表示成两个信号的线性叠加，那么输出当然也是两个信号各自输出的叠加，并且权重相等！

例如，现在选取两个信号 $𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}], 𝛿 [𝑛 - 𝑛_{1}]$ ，由于时不变性，它们分别对应的输出显然是 $ℎ [𝑛 - 𝑛_{0}], ℎ [𝑛 - 𝑛_{1}]$ ，那么两者线性叠加经过系统的作用之后：

𝛼 𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}] + 𝛽 𝛿 [𝑛 - 𝑛_{1}] \to 𝛼 ℎ [𝑛 - 𝑛_{0}] + 𝛽 ℎ [𝑛 - 𝑛_{1}]

说到这个地步，您一定已经悟出了我们为什么要将原信号从解析式写成单位冲激函数的加权和了！既然原信号 $𝑥 [𝑛]$ 已经被分解为一个个被时移的冲激函数，那么经过系统作用，输出 $𝑦 [𝑛]$ 就能以相同的权重表达为单位脉冲响应的加权和了：

𝑥 [𝑛] = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] 𝛿 [𝑛 - 𝑘] \to 𝑦 [𝑛] = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] ℎ [𝑛 - 𝑘]

3.卷积和

对于上式的加权和结果：

𝑦 [𝑛] = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] ℎ [𝑛 - 𝑘]

我们将其称之为叠加和，更一般称为卷积和。右边的运算形式在之后会经常出现，将这种运算称为卷积，并记为 $𝑥 [𝑛] * ℎ [𝑛]$ ：

定义 1.（卷积和）

𝑥 [𝑛] * ℎ [𝑛] = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] ℎ [𝑛 - 𝑘]

二、卷积积分——连续情况

1.连续信号的表示

正如在前篇中提到的，要从离散情况推到连续情况，只需要将求和稠密化即可。当然严谨起见，这里还是稍作推导。

需要注意连续时间的单位冲激函数并不像离散情况下那样简单：

注 1.

由于单位阶跃函数是不连续的，因此严格来讲单位阶跃函数的微分是不存在的。但是我们暂时回避严谨的问题，只考虑形式上单位冲激函数应当如何得到。由于：

𝑢 (𝑡) = \int_{- \infty}^{𝑡} 𝛿 (𝜏) 𝑑 𝜏, 𝛿 (𝑡) = \frac{𝑑 𝑢 (𝑡)}{𝑑 𝑡}

而 $𝑢 (𝑡)$ 在 $𝑡 = 0$ 的一瞬间就变成了 $1$ 、此后不再变化，因此完全可以设想 $𝛿 (𝑡)$ 是这样一个函数：它只在 $𝑡 = 0$ 时具有一个无穷大但又“确定”的取值，恰恰使得：

\int_{- \infty}^{0} 𝛿 (𝜏) 𝑑 𝜏 = 1

或者应当不严谨地说，连续时间单位冲激函数在 $0$ 处的取值 $𝛿 (0)$ ，恰好与极短时间 $𝑑 𝑡$ 形成的长方形的面积 $𝛿 (0) 𝑑 𝑡 = 1$ 。与离散情况下完全相同，连续时间单位冲激函数也对连续信号具有采样性质，即：

𝑥 (𝑡) 𝛿 (𝑡) = 𝑥 (0) 𝛿 (𝑡)

𝑥 (𝑡) 𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0}) = 𝑥 (𝑡_{0}) 𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0})

因此，连续时间单位冲激函数在做时移之后，例如 $𝛿^{*} (𝑡) = 𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0})$ ，总存在 $𝛿^{*} (𝑡_{0}) 𝑑 𝑡 = 1$ 。利用这个“ $1$ ”，就能实现与离散情况下相似的将信号拆解的操作。考虑时间轴上任一极短时间段 $[𝑡_{0}, 𝑡_{0} + 𝑑 𝑡]$ ，仅保留这一段的函数值而将其余时间的函数值归零，这显然可以表示为：

𝑥 (𝑡) 𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0}) 𝑑 𝑡 = 𝑥 (𝑡_{0}) 𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0}) 𝑑 𝑡 = 𝑥 (𝑡_{0})

那么连续信号当然就能看做无穷个类似段的叠加：

\begin{aligned} 𝑥 (𝑡) & = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝑡) 𝛿 (𝑡 - 𝑘 𝑑 𝑡) 𝑑 𝑡 \\ = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝑘 𝑑 𝑡) 𝛿 (𝑡 - 𝑘 𝑑 𝑡) 𝑑 𝑡 \end{aligned}

上式可以化为黎曼积分：

𝑥 (𝑡) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝛿 (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏

上式的表达形式和离散情况下是相当相似的，也记为 $𝑥 (𝑡) * 𝛿 (𝑡)$ 。一般可以根据上下文，以及所使用的符号来确定卷积运算形式是卷积和还是卷积积分。对于信号 $𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)$ ，其卷积(积分)是：

定义 2.（卷积积分）

𝑥 (𝑡) * 𝑦 (𝑡) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝑦 (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏

2.线性时不变系统的响应

同样地，既然连续信号被表示为原信号与单位冲激函数的卷积积分——一定程度上可以认为是卷积和——那么其输入线性时不变系统之后产生的响应，也当然可以表示为原信号与单位脉冲响应的卷积积分。

不妨看回离散情况下的例子：

𝑥 [𝑛] = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] 𝛿 [𝑛 - 𝑘] \to 𝑦 [𝑛] = \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑘] ℎ [𝑛 - 𝑘]

这可以简写为：

𝑥 [𝑛] = 𝑥 [𝑛] * 𝛿 [𝑛] \to 𝑦 [𝑛] = 𝑥 [𝑛] * ℎ [𝑛]

“将求和稠密化”，也就是将卷积和写成卷积积分的形式，就容易得出连续时间下线性时不变系统对信号的响应：

\begin{aligned} 𝑥 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) * 𝛿 (𝑡) & \to 𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) * ℎ (𝑡) \\ \Rightarrow 𝑥 (𝑡) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝛿 (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏 & \to 𝑦 (𝑡) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) ℎ (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏 \end{aligned}

三、卷积的运算性质

首先需要明确一点：既然卷积积分是卷积和的稠密化，卷积和是卷积积分的离散化，那么两者的性质必然是共通的。以下虽然只针对卷积积分讨论，但对卷积和同样适用。假设有两个函数 $𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)$ 。

1.交换律

卷积符合交换律，即 $𝑥 (𝑡) * 𝑦 (𝑡) = 𝑦 (𝑡) * 𝑥 (𝑡)$ 。不妨完整地写出 $𝑥 (𝑡) * 𝑦 (𝑡)$ ：

𝑥 (𝑡) * 𝑦 (𝑡) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝑦 (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏

做变量代换 $𝑢 = 𝑡 - 𝜏$ ，那么 $𝜏 = 𝑡 - 𝑢, 𝑑 𝜏 = - 𝑑 𝑢$ ：

\begin{aligned} \dots & = - \int_{+ \infty}^{- \infty} 𝑥 (𝑡 - 𝑢) 𝑦 (𝑢) 𝑑 𝑢 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑦 (𝑢) 𝑥 (𝑡 - 𝑢) 𝑑 𝑢 \\ = 𝑦 (𝑡) * 𝑥 (𝑡) \end{aligned}

即可得证。

2.分配律

卷积符合分配律，这是说：

𝑥 (𝑡) * (𝑦_{1} (𝑡) + 𝑦_{2} (𝑡)) = 𝑥 (𝑡) * 𝑦_{1} (𝑡) + 𝑥 (𝑡) * 𝑦_{2} (𝑡)

这是因为：

\begin{aligned} 𝑥 (𝑡) * (𝑦_{1} (𝑡) + 𝑦_{2} (𝑡)) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) (𝑦_{1} (𝑡 - 𝜏) + 𝑦_{2} (𝑡 - 𝜏)) 𝑑 𝜏 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝑦_{1} (𝑡 - 𝜏) + 𝑥 (𝜏) 𝑦_{2} (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝑦_{1} (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏 + \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝜏) 𝑦_{2} (𝑡 - 𝜏) 𝑑 𝜏 \\ = 𝑥 (𝑡) * 𝑦_{1} (𝑡) + 𝑥 (𝑡) * 𝑦_{2} (𝑡) \end{aligned}

3.结合律

卷积符合分配律，这是说：

𝑥_{1} (𝑡) * (𝑥_{2} (𝑡) * 𝑥_{3} (𝑡)) = (𝑥_{1} (𝑡) * 𝑥_{2} (𝑡)) * 𝑥_{3} (𝑡)

这是因为：

\begin{aligned} 𝑥_{1} (𝑡) * (𝑥_{2} (𝑡) * 𝑥_{3} (𝑡)) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝜏_{0}) (𝑥_{2} (𝑡 - 𝜏_{0}) * 𝑥_{3} (𝑡 - 𝜏_{0})) 𝑑 𝜏_{0} \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝑡 - 𝑢) (𝑥_{2} (𝑢) * 𝑥_{3} (𝑢)) 𝑑 𝑢 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝑡 - 𝑢) [\int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{2} (𝜏_{1}) 𝑥_{3} (𝑢 - 𝜏_{1}) 𝑑 𝜏_{1}] 𝑑 𝑢 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝑡 - 𝑢) 𝑥_{2} (𝜏_{1}) 𝑥_{3} (𝑢 - 𝜏_{1}) 𝑑 𝜏_{1} 𝑑 𝑢 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝑤) 𝑥_{2} (𝜏_{1}) 𝑥_{3} (𝑡 - 𝑤 - 𝜏_{1}) 𝑑 𝜏_{1} 𝑑 𝑤 \end{aligned}

另一方面：

\begin{aligned} (𝑥_{1} (𝑡) * 𝑥_{2} (𝑡)) * 𝑥_{3} (𝑡) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝜏_{0}) 𝑥_{2} (𝑡 - 𝜏_{0}) 𝑑 𝜏_{0} * 𝑥_{3} (𝑡) \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝜏_{0}) 𝑥_{2} (𝜏_{1} - 𝜏_{0}) 𝑑 𝜏_{0}] \cdot 𝑥_{3} (𝑡 - 𝜏_{1}) 𝑑 𝜏_{1} \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝜏_{0}) 𝑥_{2} (𝜏_{1} - 𝜏_{0}) 𝑥_{3} (𝑡 - 𝜏_{1}) 𝑑 𝜏_{0} 𝑑 𝜏_{1} \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥_{1} (𝜏_{0}) 𝑥_{2} (𝑢) 𝑥_{3} (𝑡 - 𝜏_{0} - 𝑢) 𝑑 𝑢 𝑑 𝜏_{0} \end{aligned}

显然两者是等价的。

四、线性时不变系统的性质

由于单位冲激响应可以完全地刻画一个线性时不变系统，因此线性时不变系统的性质可以通过其单位冲激响应体现。

1.记忆性

我们之前在简单信号与系统的性质中对记忆性的描述是：

注 2.

当一个系统的输出仅取决于此时的输入，那么称之为无记忆的。尽管记忆这个词具有“过去”的意味，但实际上，如果系统的输出与未来的输入有关，也会将它定义为记忆的。

对于连续线性时不变系统来说，显然只有在冲激响应为 $𝑘 𝛿 (𝑡)$ 时才是无记忆的。而对于离散线性时不变系统，则还要求 $𝑘 = ℎ [0]$ ，即冲激响应为：

ℎ (𝑡) = ℎ (𝑡) 𝛿 (𝑡) = ℎ (0) 𝛿 (𝑡)

2.可逆性

我们之前在简单信号与系统的性质中对可逆性的描述是：

注 3.

一个系统只要对不同的输入、必有不同的输出，那么它就是可逆的。这就是说，要求这个函数的函数具有反函数。

结合本篇介绍的单位冲激响应与卷积，以更加数学化的形式来表达，那就是对一个具有冲激响应 $ℎ (𝑡)$ 的线性时不变系统，应当存在一个冲激响应为 $ℎ^{'} (𝑡)$ 的逆系统(也是线性时不变的)，使得输入 $𝑥 (𝑡)$ 在连续经过 $ℎ (𝑡)$ 与 $ℎ^{'} (𝑡)$ 系统之后产生的输出，依然是 $𝑥 (𝑡)$ 自身。也就是说， $ℎ (𝑡)$ 与 $ℎ^{'} (𝑡)$ 系统的串联应当形成一个恒等系统 $𝛿 (𝑡)$ ，也就是：

ℎ (𝑡) * ℎ^{'} (𝑡) = 𝛿 (𝑡)

3.因果性

我们之前在简单信号与系统的性质中对因果性的描述是：

注 4.

如果一个系统的输出仅取决于过去和此时的输入，那么称之为因果的。因此，因果性的系统是排斥未来的输入的。并且，如果一个系统的记忆的，那么也必然是因果的。

对于线性时不变系统，这就要求冲激响应 $ℎ (𝑡)$ 只在 $𝑡 = 0$ 及其之后有非零值，也就是：

ℎ (𝑡) = 0, 𝑡 < 0

这等效于初始松弛条件，其意义是：当输入在某时刻前恒为 $0$ 时，那么输出在此时刻前也应恒为 $0$ 。

4.稳定性

我们之前在简单信号与系统的性质中对稳定性的描述是：

注 5.

当一个系统的输入是有界的、其输出亦是有界的，那么这个系统是稳定的。

利用冲激响应与卷积，我们可以获得线性时不变系统稳定性的等价描述，即当冲激响应 $ℎ (𝑡)$ 是绝对可积或绝对可和时，系统是稳定的。

注 6.

所谓绝对可积或绝对可和，是指下式成立：

\int_{- \infty}^{+ \infty} | ℎ (𝑡) | 𝑑 𝑡 < + \infty

\sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} | ℎ [𝑛] | < + \infty