代数结构（一）—

代数结构（一）——群

一、群的基本概念与性质

1.群的定义

定义 1.（群）

设 $𝐺$ 是一个非空集合，其上定义运算 $\cdot$ 。这意味着对于任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐺$ ，都有 $𝑎 \cdot 𝑏 \in 𝐺$ 。若这个集合及其运算还满足下述三个性质：

结合律，即对任意 $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝐺$ ，都有 $(𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝑐 = 𝑎 \dot{𝑏 \cdot 𝑐}$ ；
$𝐺$ 中存在单位元 $𝑒$ ，即对任意 $𝑎 \in 𝐺$ ，都有 $𝑎 \cdot 𝑒 = 𝑒 \cdot 𝑎 = 𝑎$ ；
对任意 $𝑎 \in 𝐺$ ，都存在逆元 $𝑎^{- 1} \in 𝐺$ ，使得 $𝑎 \cdot 𝑎^{- 1} = 𝑎^{- 1} \cdot 𝑎 = 𝑒$ 。

那么称 $𝐺$ 关于运算 $\cdot$ 构成群，并将其记作 $(𝐺, \cdot)$ ；在不至于混淆时，群也可以简记作 $𝐺$ 。由于群要求其中任意元素都有逆元，因此群的运算不能有零元。同时，由群的定义可知，群上的运算必然满足消去律。

注 1.（交换群与乘法记号）

群的定义并不要求 $\cdot$ 满足交换律 $𝑎 \cdot 𝑏 = 𝑏 \cdot 𝑎$ 。若交换律成立，则称为交换群或阿贝尔群。采用加法记号时，单位元记为 $0$ ， $𝑎$ 的逆元记为 $- 𝑎$ 。

采用乘法记号时，运算符常省略，即 $𝑎 \cdot 𝑏 = 𝑎 𝑏$ 。下文若无特别说明，均采用乘法记号。

群 $𝐺$ 中元素的个数称为群 $𝐺$ 的阶，记为 $| 𝐺 |$ 。当 $| 𝐺 |$ 的数值有限时，称 $𝐺$ 为有限群；否则称为无限群。

2.群元素的阶

既然群的运算满足结合律，那么就可以引入(整数)幂运算。对于群中的任意元素 $𝑎$ ：

𝑎^{𝑛} = {\begin{cases} 𝑒 & 𝑛 = 0 \\ 𝑎^{𝑛 - 1} 𝑎 & 𝑛 > 0 \\ {(𝑎^{- 1})}^{| 𝑛 |} & 𝑛 < 0 \end{cases}

将使 $𝑎^{𝑘} = 𝑒$ 成立的最小的正整数 $𝑘$ 称为 $𝑎$ 的阶，记为 $| 𝑎 |$ 。此时，也可以称 $𝑎$ 为 $𝑘$ 阶元。假如 $𝑘$ 不存在则称 $𝑎$ 为无限阶元。 ¹¹ 需要注意群元素的阶和群的阶是不同的概念。

那么对于任意 $𝑛, 𝑚 \in 𝑍$ ，存在如下指数法则：

{\begin{cases} 𝑎^{𝑛} \cdot 𝑎^{𝑚} = 𝑎^{𝑛 + 𝑚} \\ {(𝑎^{𝑛})}^{𝑚} = 𝑎^{𝑛 𝑚} \end{cases}

而对于 ${(𝑎 𝑏)}^{𝑛} = 𝑎^{𝑛} \cdot 𝑏^{𝑛}$ 这条等式，在 $𝐺$ 不是交换群的情况下基本不成立；但若 $𝐺$ 确是交换群，则此式必定成立。

注 2.

当群 $𝐺$ 是加群时，指数法则相应地改为倍数法则：

{\begin{cases} 𝑛 𝑎 + 𝑚 𝑎 = (𝑛 + 𝑚) 𝑎 \\ 𝑚 (𝑛 𝑎) = (𝑚 𝑛) 𝑎 \\ 𝑛 (𝑎 + 𝑏) = 𝑛 𝑎 + 𝑛 𝑏 \end{cases}

当然，由于加群必定是交换群，因此第三条等式必然成立。

3.群的基本性质

当 $(𝐺, \cdot)$ 是群时，其具有以下性质：

$𝐺$ 中的单位元 $𝑒$ 是唯一的；
$𝐺$ 中每个元素的逆元都是唯一的；
对任意 $𝑎 \in 𝐺$ ，总有 ${(𝑎^{- 1})}^{- 1} = 𝑎$ ；
对任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐺$ ，总有 ${(𝑎 𝑏)}^{- 1} = 𝑏^{- 1} 𝑎^{- 1}$ ；
$𝐺$ 中消去律成立，即对任意 $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝐺$ ，若 $𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑐$ ，则有 $𝑏 = 𝑐$ 。

那么，据此可得以下定理——在群 $𝐺$ 中，对任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐺$ 中，以下方程：

{\begin{cases} 𝑎 𝑥 = 𝑏 \\ 𝑦 𝑎 = 𝑏 \end{cases}

在 $𝐺$ 中都存在唯一解。

4.群的判定

利用群的定义，可以得到如下群的判定定理：

定理 1.（群的判定定理（一））

当 $𝐺$ 是非空集合时，则 $𝐺$ 关于定义于其上的代数运算 $\cdot$ 构成群的充分必要条件是：

$\cdot$ 满足结合律；
$𝐺$ 中存在左单位元 $𝑒$ ，使任意 $𝑎 \in 𝐺$ 都有 $𝑒 𝑎 = 𝑎$ ；
对 $𝐺$ 中任意元素 $𝑎 \in 𝐺$ ，都存在左逆元 $𝑎^{'} \in 𝐺$ ，使 $𝑎^{'} 𝑎 = 𝑒$ 。这里 $𝑒$ 是左单位元。

当然，将上述的“左”都替换为“右”，也是成立的。

而利用在上一小节中得到的定理，又可以得到另一群的判定定理：

定理 2.（群的判定定理（二））

设非空集合 $𝐺$ 上的运算是乘法并且符合结合律。则 $𝐺$ 关于此代数运算构成群的充分必要条件是对任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐺$ 中，以下方程：

{\begin{cases} 𝑎 𝑥 = 𝑏 \\ 𝑦 𝑎 = 𝑏 \end{cases}

在

𝐺

中都存在唯一解。

由上述定理，又可以得到一个群判定定理：

定理 3.（群的判定定理（三））

设

𝐺

是一个非空有限集合。若其上的运算满足结合律，并且满足左消去律与右消去律，那么

𝐺

构成群。 ²² 需要注意这里要求

𝐺

是有限集合。

二、子群的基本概念与性质

1.子群的定义

设有群 $𝐺$ ，而 $𝐻 \subseteq 𝐺$ 是 $𝐺$ 的非空子集。若 $𝐻$ 也关于 $𝐺$ 的运算构成群，那么 $𝐻$ 称为 $𝐺$ 的子群，记作 $𝐻 < 𝐺$ 。

由此，对于以 $𝑒$ 为单位元的群 $𝐺$ 而言， $𝐺$ 和 ${𝑒}$ 必然是 $𝐺$ 的子群，这两个子群称为平凡子群；而其他的子群则称为非平凡子群。不与其自身相等的群称为真子群。

2.子群的性质

既然 $𝐻$ 是 $𝐺$ 的子群，那么显然存在：

$𝐻$ 对 $\cdot$ 封闭；
$𝐻$ 的单位元是 $𝐺$ 的单位元；
$𝐻$ 中的元素 $𝑎$ ，其在 $𝐺$ 中的逆元 $𝑎^{- 1}$ 就是 $𝑎$ 在 $𝐻$ 中的逆元。

群 $𝐺$ 的任意两个子群之交亦是群 $𝐺$ 的子群。

3.子群的判定

由子群的性质，可以得到一条子群判定定理：

定理 4.（子群的判定定理（一））

如果群 $𝐺$ 的非空子集 $𝐻$ 符合下述三个条件：

$𝐻$ 在 $𝐺$ 的运算下封闭；
$𝐻$ 具有单位元；
$𝐻$ 包含它的每个元素的逆元。

那么 $𝐻$ 是 $𝐺$ 的子群。

或者：

定理 5.（子群的判定定理（二））

如果群 $𝐺$ 的非空子集 $𝐻$ 符合下述两个条件：

对任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐻$ 有 $𝑎 𝑏 \in 𝐻$ (封闭性)；
对任意 $𝑎 \in 𝐻$ 有 $𝑎^{- 1} \in 𝐻$ (有逆元)。

那么 $𝐻$ 是 $𝐺$ 的子群。上述两个条件可以推出 $𝐻$ 具有单位元。

或者可以精简为一个条件：

定理 6.（子群的判定定理（三））

如果群

𝐺

的非空子集

𝐻

符合下述条件：对任意

𝑎, 𝑏 \in 𝐻

有

𝑎 𝑏^{- 1} \in 𝐻

，那么

𝐻

是

𝐺

的子群。

4.生成子群与循环群

现在不妨设 $𝑆$ 是群 $𝐺$ 的一个非空子集，而 $𝑀$ 是群 $𝐺$ 的子群中包含 $𝑆$ 的子群的集合：

𝑀 = {𝐻 < 𝐺 | 𝑆 \subseteq 𝐻}

那么，这些子群的交亦是群 $𝐺$ 的子群³³ 即在子群性质中提到过的“子群之交亦是子群”，这个子群称为群 $𝐺$ 由子集 $𝑆$ 生成的子群(简称生成子群)，记为 $⟨ 𝑆 ⟩$ ：

⟨ 𝑆 ⟩ = ⋂ 𝑀 = ⋂_{𝑆 \subseteq 𝐻 < 𝐺} 𝐻

当 $𝑆$ 是有限集合时，即 $𝑆 = {𝑎_{1}, 𝑎_{2}, \dots, 𝑎_{𝑛}}$ ，那么基于 $𝑆$ 的生成子群可以展开写为：

⟨ 𝑆 ⟩ = ⟨ 𝑎_{1}, 𝑎_{2}, \dots, 𝑎_{𝑛} ⟩

生成子群的性质如下：

注 3.（生成子群的性质）

$⟨ 𝑆 ⟩$ 是 $𝐺$ 中包含 $𝑆$ 的最小子群；
$⟨ 𝑆 ⟩ = {𝑎_{1}^{𝑙_{1}}, 𝑎_{2}^{𝑙_{2}}, \dots, 𝑎_{𝑘}^{𝑙_{𝑘}} | 𝑎_{𝑖} \in 𝑆, 𝑙_{𝑖} = \pm 1}$

由生成子群的概念，可以引出循环群的概念——即当 $𝑆$ 中只含有一个元素的时候即 $𝑆 = {𝑎}$ ，那么 $⟨ 𝑆 ⟩ = ⟨ 𝑎 ⟩$ 就称为由 $𝑎$ 生成的循环群。

三、陪集

1.群的乘法

准确来说，这一小节所述的是群的子集的乘法。设 $𝐴, 𝐵$ 是群 $𝐺$ 的子集，那么它们的乘积是：

𝐴 𝐵 = {𝑎 𝑏 | 𝑎 \in 𝐴, 𝑏 \in 𝐵}

特殊情况下，即如果 $𝐴$ 中只有一个元素 $𝑔$ ， $𝐴 = {𝑔}$ ，那么 $𝐴 𝐵$ 也可写为：

𝑔 𝐵 = {𝑔 𝑏 | 𝑏 \in 𝐵}

以及 $𝐵 𝐴 = 𝐵 𝑔 = {𝑏 𝑔 | 𝑏 \in 𝐵}$ 。当群 $𝐺$ 不是交换群时，一般而言 $𝐴 𝐵 \neq 𝐵 𝐴$ 。即便恰有 $𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴$ ，也不能得出 $𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎$ 的结论。

注 4.

上面所作的讨论是针对乘群。当群是加群时，乘法改为加法，即有：

{\begin{cases} 𝐴 + 𝐵 = {𝑎 + 𝑏 | 𝑎 \in 𝐴, 𝑏 \in 𝐵} \\ 𝑔 + 𝐵 = {𝑔 + 𝑏 | 𝑏 \in 𝐵} \\ 𝐵 + 𝑔 = {𝑏 + 𝑔 | 𝑎 \in 𝐴, 𝑏 \in 𝐵} \\ 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 \\ 𝑔 + 𝐵 = 𝐵 + 𝑔 \end{cases}

由于加群是交换群，因此后两条等式成立。

群的子集的乘法满足结合律 $𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) 𝐶$ ，也在特殊情况下满足消去律，即如果 $𝑔 𝐴 = 𝑔 𝐵$ 或 $𝐴 𝑔 = 𝐵 𝑔$ ，那么 $𝐴 = 𝐵$ 。

现在，假设 $𝐴, 𝐵$ 是群 $𝐺$ 的子集的同时，还是其子群。那么应有 $𝐴 𝐴 = 𝐴, 𝐵 𝐵 = 𝐵$ ，这是说子群与自身相乘依然得到自身。以及， $𝐴 𝐵$ 是 $𝐺$ 的子群的充分必要条件是 $𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴$ 。

2.陪集的定义

陪集的定义如下。

定义 2.（陪集）

若 $𝐻$ 是群 $𝐺$ 的子群，那么对任意 $𝑎 \in 𝐺$ ：

{\begin{cases} 𝑎 𝐻 = {𝑎 ℎ | ℎ \in 𝐻} \\ 𝐻 𝑎 = {ℎ 𝑎 | ℎ \in 𝐻} \end{cases}

是群

𝐺

的子集(注意不是子群)，分别称为左陪集和右陪集。

3.陪集的性质

陪集具有以下性质，设 $𝐻$ 是群 $𝐺$ 的子群， $𝑎, 𝑏 \in 𝐺$ ：

$𝑎 \in 𝑎 𝐻$ ；
$𝑎 𝐻 = 𝐻$ 的充分必要条件是 $𝑎 \in 𝐻$ ；
$𝑎 𝐻$ 是 $𝐺$ 的子群的充分必要条件是 $𝑎 \in 𝐻$ ；
$𝑎 𝐻 = 𝑏 𝐻$ 的充分必要条件是 $𝑎^{- 1} 𝑏 \in 𝐻$ ；
$𝑎 𝐻$ 与 $𝑏 𝐻$ 要么完全相同，要么没有公共元素；
$| 𝑎 𝐻 | = | 𝑏 𝐻 |$ 。

以上性质对于右陪集同样成立。对于第四条，其表述是： $𝐻 𝑎 = 𝐻 𝑏$ 的充分必要条件是 $𝑏 𝑎^{- 1} \in 𝐻$ ；

将群 $𝐺$ 的子群 $𝐻$ 的全体左陪集或者全体右陪集组成的集合记为：

{\begin{cases} 𝐺 / 𝐻 = {𝑔 𝐻 | 𝑔 \in 𝐺} \\ 𝐻 \ 𝐺 = {𝐻 𝑔 | 𝑔 \in 𝐺} \end{cases}

由以上性质，群 $𝐺$ 的子群 $𝐻$ 的全体左陪集(或者右陪集)构成群 $𝐺$ 的一个划分，即：

𝐺 = ⋃ 𝐺 / 𝐻 = ⋃ 𝐻 \ 𝐺

4.拉格朗日定理

首先介绍指标。设 $𝐻$ 是群 $𝐺$ 的子群，那么将 $𝐻$ 在 $𝐺$ 中的左陪集(或右陪集)的数量称为 $𝐻$ 在 $𝐺$ 中的指标，记为 $[𝐺 : 𝐻]$ 。显然有：

[𝐺 : 𝐻] = | 𝐺 / 𝐻 | = | 𝐻 \ 𝐺 |

定理 7.（拉格朗日定理）

若 $𝐺$ 是有限群， $𝐻$ 是 $𝐺$ 的子群，则

| 𝐺 | = [𝐺 : 𝐻] \cdot | 𝐻 | .

由此可得以下推论：

若 $𝐺$ 是有限群，那么 $𝐺$ 中任一元素的阶都是 $| 𝐺 |$ 的因子；
若 $𝐺$ 是有限群且 $| 𝐺 | = 𝑛$ ，那么对任意 $𝑎 \in 𝐺$ 都有 $𝑎^{𝑛} = 𝑒$ 。

四、正规子群与商集

1.正规子群的定义

在群 $𝐺$ 的子群中，有一类子群特殊且重要。

定义 3.（正规子群）

若子群

𝐻

符合对于任意

𝑎 \in 𝐺

都有

𝑎 𝐻 = 𝐻 𝑎

，即左右陪集相等，那么称

𝐻

为

𝐺

的正规子群。

其中， $𝐺, {𝑒}$ 不仅是 $𝐺$ 的(平凡)子群，也是 $𝐺$ 的正规子群，这两个正规子群就是平凡正规子群。当群 $𝐺 \neq {𝑒}$ 的同时仅有平凡正规子群，那么将 $𝐺$ 称作单群。

2.正规子群的性质

交换群因为满足交换律，因此交换群的任一子群都是正规子群。

当 $𝐻, 𝐾$ 均是群 $𝐺$ 的子群，并且 $𝐻$ 在是 $𝐺$ 的正规子群的同时还是 $𝐾$ 的子集 $𝐻 \subseteq 𝐾$ ，那么 $𝐻$ 亦是 $𝐾$ 的正规子群。 ⁴⁴ 需要注意各集合间的关系。如果 $𝐻$ 是 $𝐾$ 的正规子群、 $𝐾$ 是 $𝐺$ 的正规子群， $𝐻$ 也不一定是 $𝐺$ 的正规子群。

一个比较特殊的性质是：若 $𝐻$ 是群 $𝐺$ 的子群且 $[𝐺 : 𝐻] = 2$ ，那么 $𝐻$ 是 $𝐺$ 的正规子群。

若 $𝐻_{1}, 𝐻_{2}$ 均是群 $𝐺$ 的正规子群，那么 $𝐻_{1} \cap 𝐻_{2}, 𝐻_{1} 𝐻_{2}$ 都是 $𝐺$ 的正规子群。

注 5.

由于正规子群的左右陪集相等，因此对正规子群而言称“陪集”便足矣，并且 $𝐺 / 𝐻 = 𝐻 \ 𝐺$ 。定义陪集上的乘法运算：

𝑎 𝐻 \cdot 𝑏 𝐻 = (𝑎 𝑏) 𝐻

从而得到另一个重要的性质⁵⁵ 此性质是商群的基础：若

𝐻

是群

𝐺

的正规子群，那么

𝐺 / 𝐻

与上述定义的乘法构成群。

3.正规子群的判定

若 $𝐻$ 是群 $𝐺$ 的子群，那么下述四个条件等价：

$𝐻$ 是群 $𝐺$ 的正规子群；
对任意 $𝑎 \in 𝐺$ ，由 $𝑎 𝐻 𝑎^{- 1} \subseteq 𝐻$ ；
对任意 $𝑎 \in 𝐺$ ，由 $𝑎 𝐻 𝑎^{- 1} = 𝐻$ ；
对任意 $𝑎 \in 𝐺, ℎ \in 𝐻$ ，有 $𝑎 ℎ 𝑎^{- 1} \in 𝐻$ 。

4.商群

当 $𝐻$ 是群 $𝐺$ 的正规子群时， $𝐺 / 𝐻$ ：

𝐺 / 𝐻 = {𝑔 𝐻 | 𝑔 \in 𝐺}

以及运算 $𝑎 𝐻 \cdot 𝑏 𝐻 = (𝑎 𝑏) 𝐻$ 构成群，而这个群我们称之为商群。需要注意商群是集合的集合。

5.商群的性质

商群 $𝐺 / 𝐻$ 的单位元是 $𝑒 𝐻 = 𝐻$ 。务必时刻牢记商群是集合的集合，因此其单位元亦是集合、且是 $𝐻$ 本身。同时，元素 $𝑎 𝐻$ 在 $𝐺 / 𝐻$ 中的逆元是 $𝑎^{- 1} 𝐻$ 。

注 6.

当群

𝐺

是交换群时，商群

𝐺 / 𝐻

也是交换群。

由于拉格朗日定理：

| 𝐺 | = [𝐺 : 𝐻] | 𝐻 | = | 𝐺 / 𝐻 | | 𝐻 |

所以 $| 𝐺 / 𝐻 | = \frac{| 𝐺 |}{| 𝐻 |}$ ，因此群 $𝐺$ 的商群的阶 $| 𝐺 / 𝐻 |$ 必然是 $𝐺$ 的阶 $| 𝐺 |$ 的因子。

五、群同构

1.群同构的定义

假设存在两个群 $𝐺, 𝐺^{'}$ ，以及一个 $𝐺 \to 𝐺^{'}$ 的一一对应映射 $𝜙$ ，这个映射使任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐺$ 满足：

𝜙 (𝑎 \cdot 𝑏) = 𝜙 (𝑎) \cdot 𝜙 (𝑏)

将这个映射 $𝜙$ 称为一个从 $𝐺$ 到 $𝐺^{'}$ 的同构映射，简称同构。同时，也可称群 $𝐺$ 与 $𝐺^{'}$ 同构，记作 $𝜙 : 𝐺 ≅ 𝐺^{'}$ 。

群 $𝐺$ 与其自身自然是存在同构的，这个同构称为自同构。

注 7.

需要注意，在

𝜙 (𝑎 \cdot 𝑏) = 𝜙 (𝑎) \cdot 𝜙 (𝑏)

中，左边的

𝑎 \cdot 𝑏

运算是在群

𝐺

中进行的，而右边是已经映射到

𝐺^{'}

中后再作运算的。虽然两边使用了同一个运算符号

\cdot

，但却是不同群中的运算，需要区分。因此，群同构的定义是在说，在原群中运算后再映射，和先映射后再在像群中运算，所得的结果应是相等的。这意味着两个群具有完全相同的性质。研究其一，便相当于研究其二。

2.群同构的证明(其一)

要证明两个群同构，可以遵照以下步骤：

构造映射 $𝜙 : 𝐺 \to 𝐺^{'}$ ；
证明 $𝜙$ 是单射；
证明 $𝜙$ 是满射；
证明 $𝜙 (𝑎 \cdot 𝑏) = 𝜙 (𝑎) \cdot 𝜙 (𝑏)$ 。

注 8.

要证明单射，只需证明对任意

𝑎, 𝑏 \in 𝐺

，在已知

𝜙 (𝑎) = 𝜙 (𝑏)

的情况下可以推出

𝑎 = 𝑏

。要证明满射，只需证明对任意

𝑥^{'} \in 𝐺^{'}

，都能找到

𝑥 \in 𝐺

使

𝜙 (𝑥) = 𝑥^{'}

。

3.群同构的性质

设两个群 $𝐺, 𝐺^{'}$ 同构 $𝜙 : 𝐺 ≅ 𝐺^{'}$ ：

原群中的单位元在经过同构映射之后，仍然是像群的单位元，即 $𝜙 (𝑒) = 𝑒^{'}$ 。因此，某元素 $𝑎 \in 𝐺$ 在 $𝐺$ 中的逆元，同构映射之后也是此元素在像群中的逆元，即 $𝜙 (𝑎^{- 1}) = {(𝜙 (𝑎))}^{- 1}$ 。

既然同构映射 $𝜙$ 是一一映射，因此必然存在逆映射 $𝜙^{- 1}$ 。同时，这个逆映射亦是 $𝐺^{'}$ 到 $𝐺$ 的同构映射。

作为一一映射的另一性质，当群 $𝐺$ 是有限群时， $𝐺^{'}$ 自然也是有限群，并且两个群的阶当然相等，即 $| 𝐺 | = | 𝐺^{'} |$ 。

注 9.

由于同构的两个群具有完全相同的性质，因此当

𝐺

是交换群时，

𝐺^{'}

也自然是交换群。

六、群同态

由于群同构要求 $𝜙$ 必须是一一映射，这是一种太特殊的映射。如果放松要求，那么可以得到群同态的定义。

1.群同态的定义

假设存在两个群 $𝐺, 𝐺^{'}$ ，以及一个 $𝐺 \to 𝐺^{'}$ 的映射 $𝜙$ ，这个映射使任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐺$ 满足：

𝜙 (𝑎 \cdot 𝑏) = 𝜙 (𝑎) \cdot 𝜙 (𝑏)

将这个映射 $𝜙$ 称为一个从 $𝐺$ 到 $𝐺^{'}$ 的同态映射，简称同态。

注 10.

由映射 $𝜙$ 的性质，可以将同态区分为几种：

当 $𝜙$ 为满射时，称为满同态，此时可以将同态记为 $𝜙 : 𝐺 \sim 𝐺^{'}$ ；
当 $𝜙$ 为单射时，称为单同态；
当 $𝜙$ 既是满射、又是单射时，即一一映射，这就是上面已经提到的群同构。

2.群同态的性质

虽然群同态相比于群同构放松了一些限制，但是一些性质仍然是相通的。设 $𝜙$ 是 $𝐺$ 到 $𝐺^{'}$ 的同态映射：

$𝐺$ 的单位元会映射为 $𝐺^{'}$ 中的单位元，即 $𝜙 (𝑒) = 𝑒^{'}$ ；而这将导致 $𝜙 (𝑎^{- 1}) = {(𝜙 (𝑎))}^{- 1}$ ， $𝜙 (𝑎^{𝑛}) = {(𝜙 (𝑎))}^{𝑛}$ 。

注 11.

另外，假设

𝑎 \in 𝐺

的阶

| 𝑎 | = 𝑟

。那么，

{(𝜙 (𝑎))}^{𝑟} = 𝜙 (𝑎^{𝑟}) = 𝜙 (𝑒) = 𝑒^{'}

。因此

| 𝜙 (𝑎) |

必是

| 𝑎 | = 𝑟

的因子。

现在来看与子群相关的性质。设 $𝜙$ 是 $𝐺$ 到 $𝐺^{'}$ 的同态映射， $𝐻, 𝐻^{'}$ 是 $𝐺, 𝐺^{'}$ 的子群，那么：

$𝜙 (𝐻)$ 是 $𝐺^{'}$ 的子群；
相应地， $𝜙^{- 1} (𝐻^{'})$ 是 $𝐺$ 的子群；
若 $𝐻$ 是 $𝐺$ 的正规子群，那么 $𝜙 (𝐻)$ 也是 $𝐺^{'}$ 的正规子群；
相应地，若 $𝐻^{'}$ 是 $𝐺^{'}$ 的正规子群，那么 $𝜙^{- 1} (𝐻^{'})$ 也是 $𝐺$ 的正规子群。

注 12.

在这里应当注意，同态映射中 $𝜙$ 不一定是一一映射，因此逆映射 $𝜙^{- 1}$ 不一定存在。应当将 $𝜙^{- 1} (𝐻^{'})$ 理解为一个整体记号，它和 $𝜙 (𝐻)$ 的定义是：

𝜙 (𝐻) = {𝜙 (𝑎) | 𝑎 \in 𝐻}

𝜙^{- 1} (𝐻^{'}) = {𝑥 \in 𝐺 | 𝜙 (𝑥) \in 𝐻^{'}}

将

𝜙 (𝐻) ， 𝜙^{- 1} (𝐻^{'})

分别称为

𝐻, 𝐻^{'}

在

𝜙

下的像与原像。

在此基础上，如果 $𝐻^{'}$ 是平凡正规子群 ${𝑒^{'}}$ ，那么其原像称为同态映射 $𝜙$ 的核，记为 $Ker {𝜙}$ ：

Ker {𝜙} = 𝜙^{- 1} ({𝑒^{'}}) = {𝑥 \in 𝐺 | 𝜙 (𝑥) = 𝑒^{'}}

定理 8.（群同态基本定理）

设 $𝜙 : 𝐺 \to 𝐺^{'}$ 是满同态，则 $Ker {𝜙}$ 是 $𝐺$ 的正规子群，并且

𝐺 / Ker {𝜙} ≅ 𝐺^{'} .

以及群的第二同构定理——设 $𝐻$ 为 $𝐺$ 的子群， $𝐾$ 为 $𝐺$ 的正规子群，那么 $𝐻 \cap 𝐾$ 是 $𝐻$ 的正规子群，因此：

𝐻 / (𝐻 \cap 𝐾) ≅ (𝐻 𝐾) / 𝐾

3.群同构的证明(其二)

利用群同态基本定理，可以以另一条路径证明群同构：

构造映射 $𝜙 : 𝐺 \to 𝐺^{'}$ ；
证明 $𝜙$ 是满同态(也就是，要证明 $𝜙$ 在满足同态映射的同时又是满射)；
计算同态核 $Ker {𝜙}$ ；
于是 $𝐺 / Ker {𝜙} ≅ 𝐺^{'}$ 。

七、群的直积

1.外直积的定义

定义 4.（外直积）

设两个群 $𝐺_{1}, 𝐺_{2}$ ，以笛卡尔积构造集合：

𝐺 = {(𝑎_{1}, 𝑎_{2}) | 𝑎_{1} \in 𝐺_{1}, 𝑎_{2} \in 𝐺_{2}}

并在其上定义乘法 $(𝑎_{1}, 𝑎_{2}) \cdot (𝑏_{1}, 𝑏_{2}) = (𝑎_{1} \cdot 𝑏_{1}, 𝑎_{2} \cdot 𝑏_{2})$ ，那么 $𝐺$ 构成群，并称 $𝐺$ 为 $𝐺_{1}$ 与 $𝐺_{2}$ 的外直积，记作 $𝐺 = 𝐺_{1} \times 𝐺_{2}$ 。当 $𝐺_{1}, 𝐺_{2}$ 是加群时，外直积也可以记作 $𝐺 = 𝐺_{1} \oplus 𝐺_{2}$ 。

2.外直积的性质

外直积 $𝐺 = 𝐺_{1} \times 𝐺_{2}$ 的单位元显然是 $(𝑒_{1}, 𝑒_{2})$ ，因此 $𝐺$ 中的逆元也显然是 ${(𝑎_{1}, 𝑎_{2})}^{- 1} = (𝑎_{1}^{- 1}, 𝑎_{2}^{- 1})$ 。

$𝐺$ 是有限群的充分必要条件是 $𝐺_{1}, 𝐺_{2}$ 都是有限群，并且此时显然存在 $| 𝐺 | = | 𝐺_{1} | \cdot | 𝐺_{2} |$ 。 $𝐺$ 是交换群的充分必要条件亦是 $𝐺_{1}, 𝐺_{2}$ 都是交换群。

笛卡尔积虽然不服从交换律，但交换之后生成的群是同构的。也就是 $𝐺_{1} \times 𝐺_{2} ≅ 𝐺_{2} \times 𝐺_{1}$ 。

3.内直积的定义

定义 5.（内直积）

设 $𝐻, 𝐾$ 是 $𝐺$ 的正规子群。如果：

𝐺 = 𝐻 𝐾, 𝐻 \cap 𝐾 = {𝑒}

那么称 $𝐺$ 是 $𝐻, 𝐾$ 的内直积。

4.内直积的性质

若 $𝐻, 𝐾$ 是 $𝐺$ 的子群，那么 $𝐺$ 是 $𝐻, 𝐾$ 的内直积的充分必要条件是：

$𝐺$ 中每个元素都能被唯一地表示成 $ℎ 𝑘$ 的形式；
同时， $ℎ 𝑘 = 𝑘 ℎ$ 。

而内外直积间具有如下的关系：

若 $𝐺$ 是正规子群 $𝐻, 𝐾$ 的内直积，那么 $𝐻 \times 𝐾 ≅ 𝐺$ ；
相反地，若 $𝐺 = 𝐺_{1} \times 𝐺_{2}$ ，那么应有 $𝐺$ 的两个正规子群 $𝐺_{1^{'}} ≅ 𝐺_{1}, 𝐺_{2^{'}} ≅ 𝐺_{2}$ 使得 $𝐺 = 𝐺_{1^{'}} 𝐺_{2^{'}}$ 。