代数结构（二）—

代数结构（二）——环

一、环的基本概念与性质

1.环的定义

定义 1.（环）

若在非空集合 $𝑅$ 上定义加法 $+$ 和乘法 $\cdot$ ，并且满足以下条件：

$𝑅$ 关于加法 $+$ 构成交换群；
乘法的结合律成立，即 $𝑎 (𝑏 𝑐) = (𝑎 𝑏) 𝑐$ ；
乘法对加法的两个分配律成立，即:

{\begin{cases} 𝑎 \dot{𝑏 + 𝑐} = 𝑎 \cdot 𝑏 + 𝑎 \cdot 𝑐 \\ (𝑏 + 𝑐) \cdot 𝑎 = 𝑏 \cdot 𝑎 + 𝑐 \cdot 𝑎 \end{cases}

那么称 $(𝑅, +, \cdot)$ 构成环，在不至于混淆情况下称 $𝑅$ 为环。当乘法亦满足交换律时，称其为交换环。

剖析来看，环中显然包含一个交换群(加群) $(𝑅, +)$ ，将这个群称为环的加法群。在加群中我们将其单位元记为 $0$ ，但在环中我们将 $0$ 称为环的零元(这个零元显然是对乘法说的)。以及，元素 $𝑎$ 在加群中的逆元记为 $- 𝑎$ ，而在环中则称为负元。而根据群的性质，环的零元和负元都是唯一的。

假如环 $𝑅$ 的乘法具有元素 $𝑒$ 使任意 $𝑎 \in 𝑅$ 都有 $𝑎 𝑒 = 𝑒 𝑎 = 𝑎$ ，那么将 $𝑒$ 称为环的单位元。 ¹¹ 由于环对乘法的限制不多，环不一定有单位元。但如果有单位元，则单位元必唯一。

在环 $𝑅$ 具有单位元 $𝑒$ 的情况下，如果对于某元素(注意不是任意) $𝑎 \in 𝑅$ 存在 $𝑏 \in 𝑅$ 使 $𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 = 𝑒$ 成立，那么称 $𝑎$ 是 $𝑅$ 的一个可逆元， $𝑏$ 称为 $𝑎$ 的逆元，并且记作 $𝑎^{- 1}$ 。

注 1.

注意环中存在逆元的前提是环具有单位元。环不要求乘法具有交换律，因此

𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎

不一定存在。同时，环不要求集合

𝑅

关于乘法构成群，因此环中元素也不一定有逆元。而对于具有单位元

𝑒

的环

𝑅

来说，其所有可逆元则关于乘法构成群，称为环

𝑅

的单位群，记作

𝑈 (𝑅)

。

注 2.

一个及其特殊的环是零环

{0}

，其中

0 + 0 = 0 \cdot 0 = 0

。零环是唯一一个有单位元且等于零元，并且零元可逆的环。一般讨论环时都不考虑零环。除零环外，环的单位元总不等于零元。

2.环的性质

环具有以下运算性质；

$𝑎 \cdot 0 = 0 \cdot 𝑎 = 0$
$- (- 𝑎) = 𝑎$
$𝑎 \dot{- 𝑏} = - 𝑎 \cdot 𝑏 = - 𝑎 𝑏$
$(- 𝑎) \dot{- 𝑏} = 𝑎 𝑏$

以及倍数法则，其中 $𝑚, 𝑛 \in 𝑍, 𝑎, 𝑏 \in 𝑅$ ：

$𝑚 𝑎 + 𝑛 𝑎 = (𝑚 + 𝑛) 𝑎$
$𝑚 (𝑎 + 𝑏) = 𝑚 𝑎 + 𝑚 𝑏$
$𝑚 (𝑛 𝑎) = 𝑛 (𝑚 𝑎) = (𝑚 𝑛) 𝑎$
$𝑚 (𝑎 𝑏) = (𝑚 𝑎) 𝑏 = 𝑎 (𝑚 𝑏)$

指数法则，其中 $𝑚, 𝑛 \in 𝑁, 𝑎, 𝑏 \in 𝑅$ (注意指数法则与倍数法则中 $𝑚, 𝑛$ 的所属域不同)：

${(𝑎^{𝑚})}^{𝑛} = 𝑎^{𝑚 𝑛}$
$𝑎^{𝑚} \cdot 𝑎^{𝑛} = 𝑎^{𝑚 + 𝑛}$

注 3.

之所以指数法则与倍数法则中

𝑚, 𝑛

的所属域不同，是因为元素

𝑎 \in 𝑅

不一定可逆，因此

𝑎^{0}, 𝑎^{- 𝑛}

不具有普遍的意义。并且，由于环中乘法交换律不一定成立，如果

𝑎 𝑏 \neq 𝑏 𝑎

，那么

{(𝑎 \cdot 𝑏)}^{𝑛} = 𝑎^{𝑛} \cdot 𝑏^{𝑛}

一般也不成立。

环中的加法群的性质使我们可以定义环的减法运算，即 $𝑎 - 𝑏 = 𝑎 + (- 𝑏)$ 。环的乘法对减法同样具有分配律。由此，得到我们解方程时常用的移项法则：

𝑎 + 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐 - 𝑏

3.几种不同的环

首先说明零因子的概念。如果对于非零的 $𝑎, 𝑏 \in 𝑅$ 存在 $𝑎 \cdot 𝑏 = 0$ ，那么将 $𝑎, 𝑏$ 分别称为 $𝑅$ 的左零因子和右零因子，可以统称为零因子。

一个环，要么没有零因子，此时称为无零因子环；要么有零因子，此时既有左零因子也有右零因子——也就是说，左右零因子必然同时存在，或者同时不存在。但这不代表左零因子一定是右零因子。 ²² 在无零因子环中，左右消去律都成立。

对于无零因子的交换环，如果它在有单位元的同时、单位元不等于零元即 $𝑒 \neq 0$ ，那么将其称为整环。

而如果一个整环中的所有非零元都可逆，那么将其称为域。

注 4.

由于域是一个交换环并且非零元可逆，也就是其上的乘法满足 $𝑎 𝑏^{- 1} = 𝑏^{- 1} 𝑎$ (其中 $𝑏 \neq 0$ )，所以直接用分数记号 $\frac{𝑎}{𝑏}$ 来表示是完全可行的。也就是说，可以在域上定义除法：

𝑎 \div 𝑏 = \frac{𝑎}{𝑏} = 𝑎 𝑏^{- 1} = 𝑏^{- 1} 𝑎

且称

\frac{𝑎}{𝑏}

为

𝑏

除

𝑎

的商。分数形式具有我们熟知的所有运算法则，不再列举。

如果将域定义中的“交换环”条件去除，那么这样的环称为除环。完整的表述是：如果环 $𝑅$ 有一个单位元 $𝑒 \neq 0$ 的同时、每个非零元都可逆，那么称之为除环。非交换的除环称为体。显然，域是交换的除环。

二、子环

与群类似，按类似的做法定义子环。

1.子环的定义

定义 2.（子环）

设

𝑆

是环

𝑅

的非空子集。如果

𝑆

关于

𝑅

上的加法和乘法亦构成环，那么称

𝑆

为

𝑅

的子环，记作

𝑆 < 𝑅

。

同样地， $𝑅$ 本身和零环 ${0}$ 都是 $𝑅$ 的子环，称为平凡子环。

注 5.

其中一种比较特殊的子环是中心 $𝐶 (𝑅)$ ，其定义如下：

𝐶 (𝑅) = {𝑟 \in 𝑅 | 𝑟 𝑠 = 𝑠 𝑟, \forall 𝑠 \in 𝑅}

2.子环的判定

设 $𝑆$ 是环 $𝑅$ 的非空子集，那么 $𝑆$ 是 $𝑅$ 的子环的充分必要条件是：

$(𝑆, +)$ 是 $(𝑅, +)$ 的加法子群；
$𝑆$ 关于 $𝑅$ 的乘法封闭。

当然，和以下说法是等价的：

$𝑆$ 关于 $𝑅$ 的减法封闭；
$𝑆$ 关于 $𝑅$ 的乘法封闭。

3.子环的性质

应当注意，子环不一定继承环的单位元。准确来说，当环具有单位元时，子环不一定有单位元；同样地，当环没有单位元时，子环也可能有单位元。

三、理想

在环论中，与正规子群概念相对应的是理想。

1.理想的定义

定义 3.（理想）

设 $𝐼$ 是环 $𝑅$ 的非空子集。如果：

对任意 $𝑖_{1}, 𝑖_{2} \in 𝐼$ 存在 $𝑖_{1} - 𝑖_{2} \in 𝐼$ ；
对任意 $𝑖 \in 𝐼, 𝑟 \in 𝑅$ 存在 $𝑖 𝑟, 𝑟 𝑖 \in 𝐼$ ，

那么称 $𝐼$ 为环 $𝑅$ 的理想，记作 $𝐼 ◁ 𝑅$ 。显然零理想 ${0}$ 和 $𝑅$ 本身都是 $𝑅$ 的理想，称为平凡理想。而对于不等于 $𝑅$ 自身的理想则称为真理想。

同时，如同群中定义陪集上的乘法那般，定义理想的和——若 $𝐼, 𝐽$ 是 $𝑅$ 的理想：

𝐼 + 𝐽 = {𝑎 + 𝑏 | 𝑎 \in 𝐼, 𝑏 \in 𝐽}

称为理想 $𝐼, 𝐽$ 的和。而 $𝐼 \cap 𝐽$ 称为理想 $𝐼, 𝐽$ 的交。

2.理想的性质

若 $𝐼, 𝐽$ 是 $𝑅$ 的理想，那么其和 $𝐼 + 𝐽$ 及交 $𝐼 \cap 𝐽$ 都是 $𝑅$ 的理想。

注 6.

类似于生成子群，假设元素 $𝑎 \in 𝑅$ ，那么所有包含元素 $𝑎$ 的理想的交称为由 $𝑎$ 生成的主理想，记为 $⟨ 𝑎 ⟩$ ：

⟨ 𝑎 ⟩ = ⋂_{𝑎 \in 𝐼 ◁ 𝑅} 𝐼

主理想显然也是

𝑅

的理想。由定义显然可知，

⟨ 𝑎 ⟩

是包含元素

𝑎

的最小理想。

关于主理想，其有以下性质：

$⟨ 𝑎 ⟩ = {\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑥_{𝑖} 𝑎 𝑦_{𝑖} + 𝑥 𝑎 + 𝑎 𝑦 + 𝑚 𝑎 | 𝑥_{𝑖}, 𝑦_{𝑖}, 𝑥, 𝑦 \in 𝑅, 𝑛 \in 𝑁, 𝑚 \in 𝑍}$
如果环 $𝑅$ 有单位元，那么可以重写为：

⟨ 𝑎 ⟩ = {\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑥_{𝑖} 𝑎 𝑦_{𝑖} | 𝑥_{𝑖}, 𝑦_{𝑖} \in 𝑅, 𝑛 \in 𝑁}

如果环 $𝑅$ 是交换环，那么可以重写为：

⟨ 𝑎 ⟩ = {𝑥 𝑎 + 𝑚 𝑎 | 𝑥 \in 𝑅, 𝑚 \in 𝑍}

如果环 $𝑅$ 是有单位元的交换环，那么可以重写为：

⟨ 𝑎 ⟩ = 𝑎 𝑅 = {𝑎 𝑟 | 𝑟 \in 𝑅}

基于上述性质可以推知，整数环 $𝑍$ 以及模 $𝑚$ 剩余类环 $𝑍_{𝑚}$ 的每个理想都是主理想。

四、商环

既然理想类似于正规子群，那么就可以利用之定义商环。

1.商环的定义

由环与子环的定义，若 $𝐼$ 是 $𝑅$ 的理想，那么 $(𝐼, +)$ 就是 $(𝑅, +)$ 的正规子群，从而得到商群：

在其上定义加法与乘法：

那么 $𝑅 / 𝐼$ 也构成环，因此将其称为商环。

2.商环的性质

根据定义，显然有：

是 $𝑅 / 𝐼$ 的零元；
如果 $𝑅$ 有单位元 $𝑒$ 且 $𝑒 \notin 𝐼$ ，那么是 $𝑅 / 𝐼$ 的单位元；
如果 $𝑅$ 是交换环，那么 $𝑅 / 𝐼$ 也是交换环。

五、环同态

与群同态类似地定义环同态。

1.环同态的定义

设 $𝜙$ 是环 $𝑅$ 到环 $𝑅^{'}$ 的映射，若对任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝑅$ ：

$𝜙 (𝑎 + 𝑏) = 𝜙 (𝑎) + 𝜙 (𝑏)$
$𝜙 (𝑎 𝑏) = 𝜙 (𝑎) 𝜙 (𝑏)$

那么称 $𝜙$ 是 $𝑅$ 到 $𝑅^{'}$ 的同态映射，可简称为同态。而根据映射的性质，同态又可以区分为几种：

若 $𝜙$ 为单射，那么称 $𝜙$ 为单同态；
若 $𝜙$ 为满射，那么称 $𝜙$ 为满同态，此时(才)可称 $𝑅$ 与 $𝑅^{'}$ 同态，记作 $𝜙 : 𝑅 \sim 𝑅^{'}$ ；
若 $𝜙$ 既是单射又是满射，那么称 $𝜙$ 为同构，可称 $𝑅$ 与 $𝑅^{'}$ 同构，记作 $𝜙 : 𝑅 ≅ 𝑅^{'}$ 。

注 7.

一种比较特殊的同态是零同态，它将 $𝑅$ 中的元素都映射到 $𝑅^{'}$ 中的零元 $0$ ：

\begin{aligned} 𝜙 : 𝑅 & ⟶ 𝑅^{'} \\ 𝑎 & ⟼ 0 \end{aligned}

于是：

{\begin{cases} 𝜙 (𝑎 + 𝑏) = 𝜙 (𝑎) + 𝜙 (𝑏) = 0 \\ 𝜙 (𝑎 𝑏) = 𝜙 (𝑎) 𝜙 (𝑏) = 0 \end{cases}

另一种特殊且显然的同态是环 $𝑅$ 到其商环 $𝑅 / 𝐼$ 的同态：

这个同态称为自然同态。

同样地，定义环同态的核 $Ker {𝜙}$ 为：

Ker {𝜙} = {𝑎 \in 𝑅 | 𝜙 (𝑎) = 0}

同态核显然也是 $𝑅$ 的理想。

2.环同态的性质

设 $𝜙$ 是 $𝑅$ 到 $𝑅^{'}$ 的同态映射，且元素 $𝑎 \in 𝑅$ 。首先是环同态的运算性质：

$𝜙 (0_{𝑅}) = 0_{𝑅^{'}}$
$𝜙 (𝑛 𝑎) = 𝑛 𝜙 (𝑎), \forall 𝑛 \in 𝑍$
$𝜙 (𝑎^{𝑛}) = {(𝜙 (𝑎))}^{𝑛}, \forall 𝑛 \in 𝑍$

而当两个环都分别具有单位元 $𝑒, 𝑒^{'}$ 时：

若 $𝜙$ 是满同态，那么 $𝜙 (𝑒) = 𝑒^{'}$ ；
若 $𝑅^{'}$ 是无零因子环，且 $𝜙 (𝑒) \neq 0$ ，那么 $𝜙 (𝑒) = 𝑒^{'}$ ；
若 $𝜙 (𝑒) = 𝑒^{'}$ ，则对任一可逆元 $𝑢 \in 𝑅$ ， $𝜙 (𝑢)$ 也是 $𝑅^{'}$ 的可逆元，有 $𝜙 (𝑢^{- 1}) = {(𝜙 (𝑢))}^{- 1}$ 。

定理 1.（环同态基本定理）

若 $𝜙 : 𝑅 \to 𝑅^{'}$ 是满同态，则

𝑅 / Ker {𝜙} ≅ 𝑅^{'} .

还有环的第二同构定理：

定理 2.（环的第二同构定理）

设 $𝑆$ 是 $𝑅$ 的子环， $𝐼$ 是 $𝑅$ 的理想，那么 $𝑆 \cap 𝐼$ 是 $𝑆$ 的理想，于是：

𝑆 / 𝑆 \cap 𝐼 ≅ (𝑆 + 𝐼) / 𝐼

注 8.

在环中，还存在一个环的扩张定理，又称为挖补定理。设

是

到

𝑅

的单同态、并且两个环中没有公共元素，那么应存在一个同构于

𝑅

的环

𝑆

、以及同构映射

𝜙 : 𝑆 ≅ 𝑅

，使

是

𝑆

的子环、并且

。

六、素理想和极大理想

1.素理想的定义

定义 4.（素理想）

若

𝑃

是交换环

𝑅

的真理想，且对任意

𝑎, 𝑏 \in 𝑅

，由

𝑎 𝑏 \in 𝑃

可以推出

𝑎 \in 𝑃

或

𝑏 \in 𝑃

，那么称

𝑃

为

𝑅

的素理想。

注 9.

素理想这个名字当然容易联想到素数。对于环

𝑍

，

⟨ 𝑛 ⟩

是素理想的充分必要条件是

𝑛

是素数。

2.素理想的性质

设 $𝑅$ 是具有非零单位元 $𝑒 \neq 0$ 的交换环， $𝐼$ 是其理想。那么 $𝐼$ 是 $𝑅$ 的素理想的充分必要条件是 $𝑅 / 𝐼$ 是整环。

3.极大理想的定义

定义 5.（极大理想）

设

𝑀

是交换环

𝑅

的真理想，若

𝑅

中任意包含

𝑀

的理想

𝑁

，要么

𝑁 = 𝑀

要么

𝑁 = 𝑅

，那么称

𝑀

为

𝑅

的极大理想。

注 10.

对于环

𝑍

，当

𝑛

为素数时，

⟨ 𝑛 ⟩

不仅是素理想，也是极大理想。

4.极大理想的性质

设 $𝑅$ 是具有单位元 $𝑒$ 的交换环， $𝐼$ 是其理想。那么 $𝐼$ 是 $𝑅$ 的极大理想的充分必要条件是 $𝑅 / 𝐼$ 是域。

同时，既然域是整环，所以若 $𝑅$ 是具有单位元 $𝑒$ 的交换环，那么 $𝑅$ 的每个极大理想都是素理想。

七、环的特征和素域

1.特征的定义

定义 6.（环的特征）

设在环

𝑅

中，如果有最小正整数

𝑛

使所有

𝑎 \in 𝑅

都有

𝑛 𝑎 = 0

，那么称

𝑛

为

𝑅

的特征，记作

Char {𝑅}

。如果不存在这样的正整数，那么其特征为

0

。

注 11.

一般而言数环的特征都是

0

，例如

𝑍, 𝑅, 𝑄, 𝐶

。而模

𝑚

剩余类环

𝑍_{𝑚}

及其上的多项式环

𝑍_{𝑚} [𝑥]

的特征为

𝑚

。

2.特征的性质

设环 $𝑅$ 具有单位元 $𝑒$ 。那么， $𝑒$ 关于加法的阶就是 $𝑅$ 的特征。当这个阶为无穷大时，特征为 $0$ 。

当环是整环时，特征要么为 $0$ ，要么为一个素数。由于域是整环，因此自然也有这个性质。

当环 $𝑅$ 具有单位元 $𝑒$ 时，映射 $𝜙$ ：

\begin{aligned} 𝜙 : 𝑍 & ⟶ 𝑅 \\ 𝑛 & ⟼ 𝑛 𝑒 \end{aligned}

是一个 $𝑍$ 到 $𝑅$ 的同态。从而可以得到以下推论：

(1)当环 $𝑅$ 具有单位元 $𝑒$ 时，且其特征为 $0$ ：

若 $𝑛 > 0$ ，那么 $𝑅$ 包含一个与 $𝑍_{𝑛}$ 同构的子环；
若 $𝑛 = 0$ ，那么 $𝑅$ 包含一个与 $𝑍$ 同构的子环。

(2)若有域 $𝐹$ ，其特征为 $𝑛$ ：

若 $𝑛 = 0$ ，那么 $𝐹$ 包含一个与有理数域同构的子域；
若 $𝑛$ 是一个素数，那么 $𝐹$ 包含一个与 $𝑍_{𝑛}$ 同构的子域。

3.素域的定义

定义 7.（素域）

若域

𝐹

不含任何真子域，那么称其为素域。

注 12.

有理数域

𝑄

，模

𝑝

剩余类域

𝑍_{𝑝}

(

𝑝

是素数)都是素域。

4.素域的性质

根据素域的概念，中关于域的性质可以改写为：

若有域 $𝐹$ ，其特征为 $𝑛$ ：

若 $𝑛 = 0$ ，那么 $𝐹$ 包含一个与 $𝑄$ 同构的素域；
若 $𝑛$ 是一个素数，那么 $𝐹$ 包含一个与 $𝑍_{𝑛}$ 同构的素域。

八、整环的商域

1.商域的构造

假设 $𝐷$ 是整环，其上有单位元 $1$ ，那么按以下步骤可以生成其商域，而这将是一个有理数域。

构造集合 $𝑆 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎, 𝑏 \in 𝐷, 𝑏 \neq 0}$ ；
之后构造等价关系 $\sim$ ，使：

(𝑎, 𝑏) \sim (𝑐, 𝑑) ⟷ 𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑐

由等价关系 $\sim$ 得到商集 $𝐹$ 。现在，元组 $(𝑎, 𝑏)$ 可以写成分数的形式，在 $𝑆$ 中它有等价类：

[\frac{𝑎}{𝑏}] = {(𝑐, 𝑑) | (𝑐, 𝑑) \sim (𝑎, 𝑏)}

于是，商集 $𝐹$ 是：

𝐹 = 𝑆 / \sim = {[\frac{𝑎}{𝑏}] | 𝑎, 𝑏 \in 𝐷, 𝑏 \neq 0}

在 $𝐹$ 上定义类似我们熟知的分数运算，于是 $𝐹$ 构成了一个域；
在 $𝐹$ 的基础上，利用环扩张定理，生成 $𝐷$ 的扩环 $𝑄$ 使 $𝑄$ 同构于 $𝐹$ 。 $𝑄$ 显然可以表示为：

𝑄 = {𝑎 𝑏^{- 1} | 𝑎, 𝑏 \in 𝐷, 𝑏 \neq 0} = {\frac{𝑎}{𝑏} | 𝑎, 𝑏 \in 𝐷, 𝑏 \neq 0}

将 $𝑄$ 称为 $𝐷$ 的商域。

2.商域的性质

域的商域还是其本身。

如果 $𝐷$ 与 $𝐷^{'}$ 是同构的两个整环，那么它们的商域亦同构。

九、唯一分解整环

1.因子与相伴

设 $𝑅$ 是整环， $𝑎, 𝑏 \in 𝑅$ 。如果还存在 $𝑐 \in 𝑅$ 使 $𝑎 = 𝑏 𝑐$ ，那么称 $𝑏$ 是 $𝑎$ 的因子，称 $𝑎$ 能被 $𝑏$ 整除或 $𝑏$ 整除 $𝑎$ ，记为 $𝑏 ∣ 𝑎$ 。反之，记为 $𝑏 ∤ 𝑎$ 。

显然，对于环中的单位 $𝑢$ ， $𝑎, 𝑎 𝑢$ 都是 $𝑎$ 的因子，称为平凡因子。不是平凡因子的称为非平凡因子。

如果既存在 $𝑏 ∣ 𝑎$ 又存在 $𝑎 ∣ 𝑏$ ，那么称 $𝑎$ 与 $𝑏$ 相伴，记为 $𝑎 \sim 𝑏$ 。相伴是一种等价关系。

2.因子的性质

首先给出以下三个我们较熟知的性质，设有整环 $𝐷$ ：

若 $𝑎 ∣ 𝑏$ ，则对任意 $𝑢 \in 𝑈$ ，都有 $𝑎 𝑢 ∣ 𝑏$ ;
若 $𝑎 ∣ 𝑏$ 且 $𝑎 ∣ 𝑐$ ，那么对任意 $𝑥, 𝑦 \in 𝐷$ ，都有 $𝑎 ∣ 𝑥 𝑏 + 𝑦 𝑐$ ；
若 $𝑎 ∣ 𝑏$ 且 $𝑏 ∣ 𝑐$ ，那么 $𝑎 ∣ 𝑐$ 。

而如果 $𝑎$ 与 $𝑏$ 相伴，那么以下三个条件等价：

$𝑎 \sim 𝑏$ ;
$⟨ 𝑎 ⟩ = ⟨ 𝑏 ⟩$ ;
存在单位 $𝑢 \in 𝐷$ 使 $𝑎 = 𝑏 𝑢$ 。

3.不可约元与素元

将整环 $𝐷$ 中不存在非平凡因子的元素称为不可约元。

若 $𝑝$ 是 $𝐷$ 中的非零非单位元，而对任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐷$ ，由 $𝑝 ∣ 𝑎 𝑏$ 可以推出 $𝑝 ∣ 𝑎$ 或 $𝑝 ∣ 𝑏$ ，那么称 $𝑝$ 是 $𝐷$ 的一个素元。

显然，在整环中素元必定是不可约元，但反之则不一定。

4.不可约元与素元的性质

这整环 $𝐷$ 中的一个元素 $𝑝$ 。

$𝑝$ 是不可约元当且仅当 $⟨ 𝑝 ⟩$ 是 $𝐷$ 的极大理想；
$𝑝$ 是素元当且仅当 $⟨ 𝑝 ⟩$ 是非零素理想；
素元必定是不可约元；
不可约元的伴元也是不可约元；素元的伴元也是素元。

5.不可约分解与唯一分解

设 $𝑎$ 是整环 $𝐷$ 上的一个非零非单位元，如果存在有限多不可约元 $𝑝_{1}, 𝑝_{2}, \dots, 𝑝_{𝑠}$ 使 $𝑎 = 𝑝_{1} 𝑝_{2} \dots 𝑝_{𝑠}$ ，那么就称 $𝑎$ 有不可约分解，此式为其的一个不可约分解。

在此基础上， $𝑎$ 的不可约分解在相伴等价的情况下是唯一的，那么称 $𝑎$ 有唯一分解。

如果整环 $𝐷$ 中每个非零非单位元都具有唯一分解，那么称 $𝐷$ 是一个唯一分解整环，记作 $UFD$ 。在唯一分解整环中，不可约元必是素元。

6.唯一分解整环的充要条件

首先介绍真因子链。设整环 $𝐷$ ，对于下述序列：

𝑎_{1}, 𝑎_{2}, \dots, 𝑎_{𝑛}, \dots

若 $𝑎_{𝑖}$ 是 $𝑎_{𝑖 - 1}$ 的真因子，则称其为一个真因子链。

整环 $𝐷$ 是唯一分解环的当且仅当 $𝐷$ 的每个真因子链都有限，且 $𝐷$ 的每个不可约元都是素元。

十、主理想整环

1.主理想整环的定义

如果整环 $𝐷$ 的每个理想都是主理想，那么称其为主理想整环，记为 $PID$ 。

2.主理想整环的性质

主理想整环都是唯一分解环，因此其真因子链必然有限。

设 $𝑎$ 是主理想整环中的非零非单位元，那么下述四个条件等价：

$𝑎$ 是素元；
$𝑎$ 是不可约元；
$⟨ 𝑎 ⟩$ 是极大理想；
$⟨ 𝑎 ⟩$ 是素理想。

因此，对于主理想整环 $𝐷$ 来说， $\frac{𝐷}{⟨} 𝑎 ⟩$ 是域当且仅当 $𝑎$ 是其上的素元。

3.欧几里得整环

若在整环 $𝐷$ 上存在映射 $𝜑 : 𝐷 - {0} \to ℕ$ ，使任意 $𝑎, 𝑏 \in 𝐷, 𝑏 \neq 0$ 总存在 $𝑞, 𝑟 \in 𝐷$ 使 $𝑎 = 𝑏 𝑞 + 𝑟$ ，其中要求 $𝑟 = 0$ 或 $𝜑 (𝑟) < 𝜑 (𝑏)$ ，那么就将 $𝐷$ 称为欧几里得整环，记为 $ED$ 。将 $𝜑$ 称为欧式映射。

欧几里得整环必是主理想整环，因此也必然是唯一分解整环。

以下给出一些欧几里得整环，并给出它们的欧式映射：

整数环 $ℤ$ ，欧式映射 $𝑎 ⟼ | 𝑎 |$ ；
高斯整环 $ℤ [𝑖]$ ，欧式映射 $𝑎 + 𝑏 𝑖 ⟼ 𝑎^{2} + 𝑏^{2}$ ；
域 $𝐹$ 上的多项式环 $𝐹 [𝑥]$ ，欧式映射 $𝑓 (𝑥) ⟼ deg {𝑓 (𝑥)}$ 。

十一、有限域

1.有限域的性质

定理 3.（有限域的存在与唯一性）

有限域的阶必为素数幂。反之，对每个素数幂

𝑝^{𝑛}

，都存在一个

𝑝^{𝑛}

阶有限域，并且它在同构意义下唯一。将其记作

GF (𝑝^{𝑛})

，称为伽罗瓦域。

伽罗瓦域 $GF (𝑝^{𝑛})$ 作为加法群时，与 $⨁^{𝑛} 𝑍_{𝑝}$ 是同构的。 $GF (𝑝^{𝑛})$ 的全体非零元构成乘法群时，则会形成一个 $𝑝^{𝑛} - 1$ 阶的循环群。由此得到以下三个推论：

有限域是它的素子域的一个单扩域；
$[GF (𝑝^{𝑛}) : GF (𝑝)] = 𝑛$ ；
若 $𝑎$ 是 $GF (𝑝^{𝑛})$ 的非零元乘法群的生成元，那么 $𝑎$ 是 $GF (𝑝)$ 的 $𝑛$ 次代数元。

2.原根

故而， $GF (𝑝)$ 同构于 $𝑍_{𝑝}$ ，而 $𝑍_{𝑝}$ 的乘法群 $𝑍_{𝑝}^{*}$ 也是循环群。如果存在 $𝑎 \in (0, 𝑝)$ 使，那么就将 $𝑎$ 称为模 $𝑝$ 的一个原根。

3.子域

对于伽罗瓦域 $GF (𝑝^{𝑛})$ ，对于 $𝑛$ 的每一个因子 $𝑚$ ，那么 $GF (𝑝^{𝑛})$ 中的 $𝑝^{𝑚}$ 阶子域存在且唯一。