光线追踪（二）——球体、材质与景深

Illustrated by 夜蓝星炫（Pixiv），Source

第一篇建立了射线与摄像机。本篇让射线真正与场景交互：先求出球面的最近交点，再把几何与材质分离，用递归的散射过程近似渲染方程。最后把针孔改成有限孔径，得到聚焦清晰、前后景模糊的景深效果。

一、球体与采样

1. 射线与球的交点

球心为 $𝑪$ 、半径为 $𝑅$ 的球面满足

{‖ 𝑷 - 𝑪 ‖}^{2} = 𝑅^{2} .

把射线 $𝑷 = 𝑶 + 𝑡 𝒅$ 代入，令 $𝒐 = 𝑶 - 𝑪$ ，展开得

(𝒅 \cdot 𝒅) 𝑡^{2} + 2 (𝒐 \cdot 𝒅) 𝑡 + 𝒐 \cdot 𝒐 - 𝑅^{2} = 0 .

记 $𝑎 = 𝒅 \cdot 𝒅$ 、 $ℎ = 𝒐 \cdot 𝒅$ 、 $𝑐 = 𝒐 \cdot 𝒐 - 𝑅^{2}$ ，则判别式和两个根为

Δ = ℎ^{2} - 𝑎 𝑐, 𝑡 = \frac{- ℎ \pm \sqrt{Δ}}{𝑎} .

这里的 $ℎ$ 取 $𝒐 \cdot 𝒅$ 而不是 $2 𝒐 \cdot 𝒅$ ：它是把求根公式中因子 $2$ 折进系数后得到的量，使判别式与求根各少一次乘除，这是通用写法。 $Δ < 0$ 表示错过球体， $Δ = 0$ 表示相切， $Δ > 0$ 表示穿过球面。渲染时不应仅问“是否命中”，而应在允许区间 $[𝑡_{min}, 𝑡_{max}]$ 内选择最小根，因为它对应沿射线最先看到的表面。

let oc = ray.origin - self.center;
let a = ray.direction.length_squared();
let half_b = oc.dot(ray.direction);
let c = oc.length_squared() - self.radius * self.radius;
let discriminant = half_b * half_b - a * c;
if discriminant < 0.0 { return None; }

let root = discriminant.sqrt();
let mut t = (-half_b - root) / a;
if t < t_min || t > t_max {
    t = (-half_b + root) / a;
    if t < t_min || t > t_max { return None; }
}

球面点 $𝑷$ 的外法向量是

𝒏_{out} = \frac{𝑷 - 𝑪}{𝑅} .

为了让材质代码不区分射线来自物体外部还是内部，命中记录同时保存 front_face，并令存储的法向量永远朝向入射射线的反方向：

let front_face = ray.direction.dot(outward_normal) < 0.0;
let normal = if front_face { outward_normal } else { -outward_normal };

在材质系统出现之前，可以先用命中与否输出固定红色，再把法向量从 ${[- 1, 1]}^{3}$ 线性映射到 ${[0, 1]}^{3}$ 作为 RGB：

𝑪_{normal} = \frac{𝒏 + (1, 1, 1)}{2} .

这两幅阶段图分别验证“求交是否正确”和“交点法向量是否正确”。此时每个像素只取中心样本，因此边缘仍可能出现锯齿；后面的超采样阶段才会处理它。

2. 从单球到世界与超采样

下一步加入一个半径很大的球作为地面。几何接口没有任何特殊分支：地面仍是普通球体，只是球心位于画面下方，摄像机附近只看见其很小的一段弧面。

只在像素中心采样时，球体轮廓与地平线会暴露明显的阶梯。对每个像素生成多条带抖动的射线并取平均后，边缘覆盖率被近似积分，得到平滑过渡：

超采样还揭示了一个常见错误：如果累加多个样本却忘记除以样本数，输出通道会越界或在错误的颜色转换中发生周期性折返，形成下图的彩色条纹与同心伪影。它不是随机噪声，而是颜色归一化失败的诊断信号。

定义 1.（可命中对象）

可命中对象 Hittable 是能够回答两个问题的几何实体：一条射线在给定参数区间内的最近交点是什么；包围它的轴对齐包围盒是什么。球、三角形、网格以及第三篇的 BVH 节点都可以实现同一接口。

3. 递归路径与能量衰减

命中表面后，材质选择下一条射线 scattered，并返回逐通道衰减 attenuation。渲染函数具有非常紧凑的递归形式：

if depth == 0 { return Color::ZERO; }
if let Some(hit) = world.hit(ray, 0.001, f64::INFINITY) {
    if let Some((attenuation, scattered)) = hit.material.scatter(ray, &hit, rng) {
        return attenuation * ray_color(&scattered, world, depth - 1, rng);
    }
    return Color::ZERO;
}
return sky(ray.direction);

每次乘以衰减，模拟路径携带能量的变化；到达最大深度时终止，防止极端路径无限递归。生产级路径追踪器通常改用俄罗斯轮盘赌：根据当前吞吐量以一定概率终止，否则用存活概率校正权重，从而保持估计无偏。

注 1.（递归深度不是“反射次数越大越真实”的旋钮）

固定截断会引入轻微偏差，而过大的深度会浪费大量时间。多数普通场景在若干次反弹后能量已经很小。画质的主要瓶颈往往是采样方差，而不是深度不足。

二、材质模型

1. Lambert 漫反射

理想漫反射的 BRDF 为常数

𝑓_{𝑟} = \frac{𝝆}{𝜋},

其中 $𝝆$ 是反照率。若按余弦加权半球分布采样，概率密度 $𝑝 (𝜔) = cos \frac{𝜃}{𝜋}$ 会与渲染方程中的余弦项抵消，得到低方差估计。教程实现先采用一个直观的构造：在法向量上叠加一个随机单位向量 $𝝃$ ，即 $𝒅 = 𝒏 + 𝝃$ 。这是生成余弦加权方向的常用技巧，其分布与直接按 $𝑝 (𝜔) = cos \frac{𝜃}{𝜋}$ 采样等价；而更早的“球内随机方向”模型并不满足这一权重关系，因此结果偏暗、收敛也较慢，下面几幅图正体现了这一区别。

let mut direction = hit.normal + rng.unit_vector();
if direction.near_zero() { direction = hit.normal; }
Some((albedo, Ray::new(hit.point, direction)))

near_zero 分支处理随机向量几乎与 $- 𝒏$ 相等的退化情形。这里的 albedo 应位于 ${[0, 1]}^{3}$ ；大于 $1$ 会凭空增加能量。

下面四幅图保留漫反射实现的递进过程。第一种随机球内采样虽然已经产生阴影，但能量衰减过强，整体接近黑色：

对线性颜色进行 gamma 2 近似编码后，中间调亮度恢复，暗部细节也更容易辨认。应注意 gamma 修正改变的是显示编码，而不是材质本身：

改用更接近余弦分布的 Lambert 采样后，球面亮度过渡更均衡：

另一种半球采样方式会改变方向概率分布，图中阴影更集中。三种模型并非只造成“更亮或更暗”，其本质差别是对半球方向赋予了不同权重：

2. 金属：镜面反射与粗糙度

单位入射方向 $𝒊$ 关于单位法向量 $𝒏$ 的反射方向为

𝒓 = 𝒊 - 2 (𝒊 \cdot 𝒏) 𝒏 .

这是因为 $𝒊$ 在法向分量上的投影为 $(𝒊 \cdot 𝒏) 𝒏$ ，反射只需把该分量翻转。

理想镜面总沿 $𝒓$ 传播。为了得到磨砂金属，可以在单位球内取随机向量 $𝝃$ ，引入粗糙参数 $𝑓 \in [0, 1]$ ：

𝒓^{'} = 𝒓 + 𝑓 𝝃 .

若扰动后的方向进入表面，即 $𝒓^{'} \cdot 𝒏 \leq 0$ ，路径应当终止。

let direction = incoming.direction.unit().reflect(hit.normal)
    + fuzz.clamp(0.0, 1.0) * rng.in_unit_sphere();
(direction.dot(hit.normal) > 0.0)
    .then(|| (albedo, Ray::new(hit.point, direction)))

这个模型适合教学，但它不是严格的微表面 BRDF。更真实的渲染器会使用 GGX 等法线分布函数，并同时考虑几何遮蔽与 Fresnel 项。

当 $𝑓 = 0$ 时，反射方向没有扰动，左右金属球呈现清晰而集中的镜面反射：

增大 fuzz 后，反射射线落在理想方向附近的一簇方向上，高光和倒影被摊开，得到磨砂外观：

3. 电介质：折射、全反射与 Fresnel

设光线从折射率 $𝜂_{1}$ 的介质进入 $𝜂_{2}$ ，Snell 定律为

𝜂_{1} sin 𝜃_{1} = 𝜂_{2} sin 𝜃_{2} .

令相对折射率 $𝜂 = \frac{𝜂_{1}}{𝜂_{2}}$ ，单位入射方向为 $𝒊$ ，法向量朝向入射一侧。把折射方向分成切向与法向分量：

\begin{aligned} 𝒓_{⟂} & = 𝜂 (𝒊 + cos 𝜃_{1} 𝒏), \\ 𝒓_{∥} & = - \sqrt{| 1 - {‖ 𝒓_{⟂} ‖}^{2} |} 𝒏, \\ 𝒓 & = 𝒓_{⟂} + 𝒓_{∥} . \end{aligned}

当 $𝜂 sin 𝜃_{1} > 1$ 时， $𝜃_{2}$ 没有实数解，发生全反射。即使可以折射，介质界面也会同时反射一部分能量，其比例由菲涅耳（Fresnel）反射性质决定。Schlick 近似以很低成本估计反射概率：

𝑅 (𝜃) = 𝑅_{0} + (1 - 𝑅_{0}) {(1 - cos 𝜃)}^{5}, 𝑅_{0} = {(\frac{𝜂_{1} - 𝜂_{2}}{𝜂_{1} + 𝜂_{2}})}^{2} .

实现时以 $𝑅 (𝜃)$ 为概率随机选择反射或折射，单条路径仍只生成一条后继射线；大量样本的平均值恢复两种分量。

定理 1.（全反射判据）

当光从光密介质进入光疏介质，即

𝜂_{1} > 𝜂_{2}

，若

sin 𝜃_{1} > \frac{𝜂_{2}}{𝜂_{1}}

，则不存在实数折射角，全部能量只能留在原介质一侧。

证明. 由 Snell 定律，

sin 𝜃_{2} = (\frac{𝜂_{1}}{𝜂_{2}}) sin 𝜃_{1}

。若右侧大于

1

，它不可能对应任何实角度，因此折射解不存在。

□

空心玻璃球可以用同心的两个球表示：外球半径为正，内球半径为负。负半径会翻转外法线，使第二个表面表达由玻璃回到空气的界面。这是便利技巧；一般几何体更适合显式规定朝向。

如果只套用折射公式而没有检查根号是否存在，光线在应当全反射的角度无法得到合法的后继方向。gallery 程序故意让这类路径返回黑色，以便把错误暴露为明显的黑色缺口：

加入 $𝜂 sin 𝜃_{1} > 1$ 的判定后，不存在折射解的路径改走反射方向，球体结构恢复：

最后使用式 (11) 在反射与折射之间随机选择，空心玻璃球同时表现透射、边缘反射和内部界面：

三、摄像机与成像结果

1. 薄透镜与聚焦模糊

针孔相机的所有光线都从同一点出发，因此理论上整个场景都清晰。真实镜头有有限孔径：焦平面上的一点会被孔径各处发出的光线汇聚；不在焦平面上的点则在成像面形成弥散圆。

薄透镜近似不必模拟曲面。保持焦平面上的目标点不变，把射线起点从相机中心随机移动到半径 $𝑟 = \frac{𝑎}{2}$ 的圆盘内。若圆盘样本为 $𝒒 = (𝑞_{𝑥}, 𝑞_{𝑦}, 0)$ ，相机基为 $𝒖, 𝒗$ ，偏移量是

𝜹 = 𝑟 (𝑞_{𝑥} 𝒖 + 𝑞_{𝑦} 𝒗) .

射线从 $𝑶 + 𝜹$ 出发，仍瞄准原来的焦平面采样点。孔径越大，离焦区域越模糊；焦距参数决定哪一层清晰。

let disk = self.lens_radius * rng.in_unit_disk();
let offset = self.u * disk.x + self.v * disk.y;
Ray::new(
    self.origin + offset,
    self.lower_left + s*self.horizontal + t*self.vertical
        - self.origin - offset,
)

注 2.（焦距、对焦距离与视场角）

教程相机中的 focus_distance 是对焦平面距离，并不自动改变视场角；vfov 控制构图；aperture 控制孔径。现实镜头的参数互相关联，而薄透镜接口刻意把它们拆开，便于理解和调试。

下面四幅图分别隔离相机参数的影响。较大的垂直视场角容纳更广的范围，因此同一组物体在画面中所占比例更小：

把观察点移远后，物体在画面中所占比例缩小，场景关系更容易整体辨认：

在较近观察位置或较小视场角下，主体被放大，边缘物体会超出画幅：

启用有限孔径后，对焦平面附近的蓝色球保持清晰，前后景形成弥散圆。这正是薄透镜采样所模拟的聚焦模糊：

2. 完整程序的渲染结果

注 3.（结果图的来源）

本篇从红色球到最终随机场景的全部阶段图，均由配套 Rust 工程中的 src/bin/gallery.rs 生成。运行 cargo run --release --bin gallery 会在 gallery/ 中写出对应的 PPM 文件；正文 PNG 只由这些 PPM 转码而来，不再使用原实验文档中的截图。

把随机场景、三类材质和景深全部组合，可得到更复杂的最终图。第一幅使用较宽的取景，展示大量小球、金属反射与空心玻璃结构：

第二幅调整了观察位置与构图，使前景小球和两个主要球体更突出：

把本篇的球体求交、三类材质、薄透镜相机与递归路径追踪组合起来，配套 Rust 程序会直接写出一幅 PPM 图像。下图使用 $1280 \times 720$ 分辨率、每像素 $64$ 个随机样本和最大 $24$ 次反弹；从左到右分别是空心电介质球、Lambert 漫反射球和带少量粗糙度的金属球，黄色大球充当地面。固定随机种子使结果可以复现。

程序使用纯文本 PPM，是因为这种格式无需图像编码依赖：文件头写入 P3、宽高和最大通道值，随后逐像素输出 RGB。需要用于网页时，再把 render.ppm 转为 PNG 即可；这不会改变渲染内容。

3. 从“能出图”到“可信”

始终返回区间内最近交点，并用当前最近 $𝑡$ 缩短后续查询。
命中记录统一调整法向量朝向，电介质才能正确选择相对折射率。
材质颜色在线性空间相乘，输出时才进行 gamma 或 sRGB 编码。
漫反射随机方向必须位于表面外侧；严谨实现应使用余弦加权半球采样。
每次散射都要限制深度或使用俄罗斯轮盘赌。
景深采样发生在圆盘而不是球体内，所有样本仍瞄准同一焦平面点。

至此，一个小型路径追踪器已经具备球体、漫反射、金属、玻璃与景深。不过每条射线仍可能逐一测试所有物体；场景一大，求交就成为绝对瓶颈。第三篇用 AABB 和 BVH 把大多数不可能命中的物体成组排除。