光线追踪（一）——射线与摄像机

Illustrated by 夜蓝星炫（Pixiv），Source

光线追踪的核心问题可以说得很朴素：屏幕上的一个像素，应该呈现什么颜色？光栅化从三角形出发，把几何投影到屏幕；光线追踪则从像素出发，向场景发射查询射线，寻找最先遇到的表面，再沿反射、折射或阴影方向继续查询。后者很自然地表达了遮挡、镜面与透明介质，也为基于物理的渲染提供了统一框架。

真实光子从光源出发，只有极少数最终进入摄像机。若正向模拟全部光子，大部分计算与画面无关。几何光学满足光路可逆，因此基础渲染器通常反向从摄像机追踪路径。这种算法更准确的名字是“路径追踪”；“光线追踪”在本文中作为广义称呼使用。

注 1.（本系列的主要参考）

本系列的整体组织与实现路线主要参考 Peter Shirley、Trevor David Black 和 Steve Hollasch 的开源教程 Ray Tracing in One Weekend 系列。前三篇从基础实现出发重新推导；从第四篇开始重点参考《Ray Tracing: The Next Week》，并用 Rust 独立实现和复现实验结果。文中的解释、公式组织与代码结构并非原文逐句翻译。

一、光线追踪基础

1. 渲染方程与蒙特卡洛估计

一个表面点 $𝑥$ 沿方向 $𝜔_{𝑜}$ 离开的辐亮度满足渲染方程

𝐿_{𝑜 (𝑥, 𝜔_{𝑜})} = 𝐿_{𝑒 (𝑥, 𝜔_{𝑜})} + \int_{Ω} 𝑓_{𝑟 (𝑥, 𝜔_{𝑖}, 𝜔_{𝑜})} 𝐿_{𝑖 (𝑥, 𝜔_{𝑖})} | 𝑛 \cdot 𝜔_{𝑖} | d 𝜔_{𝑖} .

其中 $𝐿_{𝑒}$ 是自发光， $𝑓_{𝑟}$ 是双向反射分布函数， $𝐿_{𝑖}$ 是来自半球 $Ω$ 的入射辐亮度， $𝑛$ 是表面法向量。积分很少有闭式解，于是我们用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法：随机选择方向 $𝜔_{𝑘}$ ，用样本均值近似：

\int_{Ω} 𝑔 (𝜔) d 𝜔 \approx \frac{1}{𝑁} \sum_{𝑘 = 1}^{𝑁} \frac{𝑔 (𝜔_{𝑘})}{𝑝 (𝜔_{𝑘})},

其中 $𝑝$ 是采样概率密度。样本越多，噪声通常越小；但蒙特卡洛误差只按 $𝑂 (𝑁^{- \frac{1}{2}})$ 收敛，把误差减半大约需要四倍样本。

注 2.（光线追踪与路径追踪）

经典 Whitted 光线追踪显式生成反射光、折射光与阴影光；路径追踪把式 (1) 的积分解释成随机路径上的期望。本文实现的是一个小型路径追踪器，但射线求交、摄像机和 BVH 同样适用于前者。

2. 向量、颜色与射线

三维点和向量都可以用三个实数存储，但语义不同：点表示位置，向量表示位移。若 $𝒂 = (𝑎_{𝑥}, 𝑎_{𝑦}, 𝑎_{𝑧})$ 、 $𝒃 = (𝑏_{𝑥}, 𝑏_{𝑦}, 𝑏_{𝑧})$ ，则

\begin{aligned} 𝒂 \cdot 𝒃 & = 𝑎_{𝑥} 𝑏_{𝑥} + 𝑎_{𝑦} 𝑏_{𝑦} + 𝑎_{𝑧} 𝑏_{𝑧}, & ‖ 𝒂 ‖ & = \sqrt{𝒂 \cdot 𝒂}, \\ 𝒂 \times 𝒃 & = (𝑎_{𝑦} 𝑏_{𝑧} - 𝑎_{𝑧} 𝑏_{𝑦}, 𝑎_{𝑧} 𝑏_{𝑥} - 𝑎_{𝑥} 𝑏_{𝑧}, 𝑎_{𝑥} 𝑏_{𝑦} - 𝑎_{𝑦} 𝑏_{𝑥}) . \end{aligned}

点积给出夹角关系 $𝒂 \cdot 𝒃 = ‖ 𝒂 ‖ ‖ 𝒃 ‖ cos 𝜃$ ；叉积得到同时垂直于两向量的方向。归一化 $\hat{𝒂} = \frac{𝒂}{‖ 𝒂 ‖}$ 只改变长度，不改变方向。

颜色也可复用三分量向量，令 $𝒄 = (𝑟, 𝑔, 𝑏)$ ，颜色分量约定在 $[0, 1]$ 。线性空间中的 $0.5$ 并不等于显示器编码值的 $0.5$ 。本系列所有的中间计算都在线性空间完成，只有写出文件前才做一次编码；否则材质的乘性衰减、路径能量与像素平均都会在错误尺度上进行。简单教程常用 gamma 2 近似，在输出前计算

𝑐_{display} = \sqrt{max (𝑐_{linear}, 0)} .

定义 1.（射线）

给定起点 $𝑶$ 和方向 $𝒅 \neq 𝟎$ ，射线是参数曲线

𝒓 (𝑡) = 𝑶 + 𝑡 𝒅, 𝑡 \geq 0 .

𝑡

不是距离，除非

𝒅

已归一化；但求交算法通常不要求单位方向。

图图 1 也解释了为什么“射线”与“直线”不同：直线允许任意实数参数，而从 $𝑶$ 出发的射线只保留 $𝑡 \geq 0$ 的半支。改变 $𝒅$ 的长度会改变参数刻度，却不会改变射线经过的几何位置。

Rust 中只需保存两个向量，并实现沿射线取点：

#[derive(Clone, Copy, Debug)]
pub struct Ray {
    pub origin: Point3,
    pub direction: Vec3,
}

impl Ray {
    pub fn at(self, t: f64) -> Point3 {
        self.origin + t * self.direction
    }
}

二、射线与摄像机

1. 针孔摄像机

先看一个位于原点、朝 $- 𝑧$ 方向观察的摄像机。设视口高度为 $ℎ$ 、宽高比为 $𝑎$ ，则视口宽度为 $𝑎 ℎ$ 。若视口左下角为 $𝑸$ ，水平边向量为 $𝑯$ ，竖直边向量为 $𝑽$ ，归一化像素坐标为 $(𝑠, 𝑡) \in {[0, 1]}^{2}$ ，那么穿过视口采样点的射线为

𝒓_{𝑠, 𝑡} (𝜆) = 𝑶 + 𝜆 (𝑸 + 𝑠 𝑯 + 𝑡 𝑽 - 𝑶) .

为了任意摆放摄像机，给定观察位置 $𝑷$ 、目标点 $𝑻$ 与参考上方向 $𝒗_{up}$ ，构造右手正交基

\begin{aligned} 𝒘 & = \frac{𝑷 - 𝑻}{‖ 𝑷 - 𝑻 ‖}, \\ 𝒖 & = \frac{𝒗_{up} \times 𝒘}{‖ 𝒗_{up} \times 𝒘 ‖}, \\ 𝒗 & = 𝒘 \times 𝒖 . \end{aligned}

这里 $- 𝒘$ 是观察方向， $𝒖$ 向右， $𝒗$ 向上。垂直视场角为 $𝜃$ 、焦平面距离为 $𝑑$ 时，视口高度与宽度分别是

ℎ = 2 𝑑 tan (\frac{𝜃}{2}), 𝑤_{viewport} = 𝑎 ℎ .

定理 1.（摄像机基的正交性）

只要参考上方向不与观察方向平行，式 (7) 得到的

𝒖, 𝒗, 𝒘

两两正交且均为单位向量。

证明. 叉积

𝒗_{up} \times 𝒘

同时垂直于两个操作数，归一化后得到单位向量

𝒖

。又因

𝒖 ⟂ 𝒘

，所以

𝒘 \times 𝒖

的长度为

1

，且垂直于两者。由叉积顺序可知三者保持右手定向。

□

2. 像素采样与抗锯齿

若每个像素只在中心发射一条射线，物体边缘会出现阶梯。像素其实覆盖一个小面积，正确的像素值是该区域上辐亮度的积分。最简单的办法是在像素内加入均匀随机扰动：

let u = (x as f64 + rng.f64()) / (width - 1) as f64;
let v = (y as f64 + rng.f64()) / (height - 1) as f64;
color += ray_color(&camera.ray(u, v, &mut rng), world, depth, &mut rng);

累加 $𝑁$ 个样本后一定要先除以 $𝑁$ ，再做 gamma 编码。忽略这一步会让颜色迅速饱和：

let scale = 1.0 / samples as f64;
let encode = |c: f64| {
    (256.0 * (scale * c).sqrt().clamp(0.0, 0.999)) as u8
};

注 3.（为什么把

𝑡_{min}

设为一个小正数？）

后续反弹射线从浮点计算得到的表面点出发。若接受

𝑡 = 0

附近的交点，它可能立即再次命中原表面，产生“阴影痤疮”。小型渲染器常用

𝑡_{min} = 0.001

回避问题；更严谨的实现会按浮点误差和表面尺度偏移射线原点。

三、程序实现

1. 最小渲染循环

暂时没有物体时，可以用射线方向生成天空渐变。这一步用到单线性插值：给定两个端点值 $𝑝_{0}, 𝑝_{1}$ 与权重 $𝛼 \in [0, 1]$ ，插值点为

𝑝 (𝛼) = (1 - 𝛼) 𝑝_{0} + 𝛼 𝑝_{1} .

当 $𝛼 = 0$ 时得到 $𝑝_{0}$ ，当 $𝛼 = 1$ 时得到 $𝑝_{1}$ ，中间取值沿两者之间匀速变化。令单位射线方向的 $𝑦$ 分量映射为 $𝛼 = \frac{{\hat{𝑑}}_{𝑦} + 1}{2}$ ，再在白色与蓝色之间插值：

𝑪 (𝒅) = (1 - 𝛼) (1, 1, 1) + 𝛼 (0.5, 0.7, 1.0) .

图图 4 是配套工程 stages 二进制程序生成的实际结果，而不是装饰性封面。它同时验证了摄像机射线方向、线性插值和 PPM 写出流程；在加入任何物体之前，先得到这幅图有助于把几何错误与图像输出错误分开。

渲染器的控制流由此确定：逐行访问像素；在像素内生成多个摄像机样本；查询场景；累加线性颜色；平均、编码并写入图片。下一篇只需要把“查询场景”替换为球体求交，并让命中点根据材质生成下一条射线。

2. 实现检查清单

向量应支持点积、叉积、逐分量乘法、归一化与下标访问。
射线方向可以不归一化，但公式之间必须保持一致。
颜色累加发生在线性空间，平均之后再 gamma 编码。
相机上方向与观察方向不能平行。
随机数生成器应显式传递；固定种子便于复现实验和测试。

配套 Rust 工程中的 vec3.rs、ray.rs、camera.rs 与 main.rs 实现了本篇全部结构。第二篇将在此基础上加入几何求交、材质散射与薄透镜景深。