形态学图像处理

Illustrated by GAloDos（Pixiv），Source

形态学图像处理关心的不是“像素值相差多少”，而是一个形状能否容纳、碰到或避开另一个小形状，这个小形状称为结构元素。把结构元素在图像上平移，就能把局部几何关系转化为腐蚀、膨胀、开闭、边界、连通量和骨架等可计算对象。[1]

需要一开始就固定一点：结构元素的形状、尺寸与原点就是本方法的模型。任何形态学结论都是相对这个模型而言的——同一个目标在小结构元素下可能连成一片，在大结构元素下却被分开；原点偏置还会造成方向性偏差。因此本章的要旨不是记住运算符，而是先看清“用哪个结构元素、在什么邻接约定下”再下结论。

定义 1.（二值图像的集合表示）

设前景像素取 1、背景取 0。二值图像可以等价表示为格点集合

𝐴 = {(𝑥, 𝑦) \in ℤ^{2} | 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 1} .

形态学集合运算只追踪前景集合

𝐴

；若程序以白色表示前景，则非零像素对应

𝐴

。

定义 2.（结构元素）

结构元素 $𝐵 \subseteq ℤ^{2}$ 是带有指定原点的小型格点集合。它在位置 $𝑧$ 处的平移为

𝐵_{𝑧} = {𝑏 + 𝑧 ∣ 𝑏 \in 𝐵},

关于原点的反射为

\hat{𝐵} = {- 𝑏 ∣ 𝑏 \in 𝐵}

。结构元素的形状、尺寸和原点共同决定运算所检测的方向与尺度。

结构元素不是越大越好。尺寸应当与目标尺度相关：过小的结构元素容纳不下目标尺度的噪声，无法真正去除；过大的结构元素则会抹掉窄连接、尖角和小目标。形状携带连通性语义：十字形偏向四邻接，方形同时连接对角方向，圆盘则近似各向同性。文中先建立二值集合定义，再给出灰度级扩展。

注 1.（运算符约定）

本章沿用数字图像处理教材中的记号：

𝐴 - 𝐵

表示形态学腐蚀，

𝐴 + 𝐵

表示形态学膨胀。这里的

-

、

+

是专用运算符，不是集合差与普通加法；普通集合差将另行说明。

一、腐蚀与膨胀

1. 腐蚀

定义 3.（二值腐蚀）

集合 $𝐴$ 被结构元素 $𝐵$ 腐蚀定义为

𝐴 - 𝐵 = {𝑧 ∣ 𝐵_{𝑧} \subseteq 𝐴} .

也就是说，只有当平移后的整个

𝐵

都落在前景内时，原点位置

𝑧

才保留为前景。

腐蚀会让前景边界向内退缩。退缩量不是固定“一个像素”，而由结构元素从原点到边界的距离和方向决定。它可以消除比结构元素小的亮点、断开狭窄连接、缩小物体，并为边界提取和距离分析提供基础。若结构元素原点不在几何中心，腐蚀结果还会产生方向偏移。

2. 膨胀

定义 4.（二值膨胀）

集合 $𝐴$ 被结构元素 $𝐵$ 膨胀定义为

𝐴 + 𝐵 = {𝑧 ∣ {\hat{𝐵}}_{𝑧} \cap 𝐴 \neq \emptyset} .

即反射后的结构元素只要与前景至少相交一次，位置

𝑧

就成为前景。对中心对称结构元素有

\hat{𝐵} = 𝐵

。

膨胀让前景向外扩张，可填补比结构元素小的缝隙、连接邻近物体、加粗细线。它也会放大前景噪声，所以“先膨胀再腐蚀”与“先腐蚀再膨胀”具有不同作用，不能交换顺序。

import cv2
import numpy as np


def binary_erode_dilate(
    binary: np.ndarray,
    kernel_size: int = 5,
) -> tuple[np.ndarray, np.ndarray]:
    if binary.ndim != 2:
        raise ValueError("binary image must be two-dimensional")
    if kernel_size <= 0 or kernel_size % 2 == 0:
        raise ValueError("kernel_size must be a positive odd number")

    foreground = np.where(binary > 0, 255, 0).astype(np.uint8)
    kernel = cv2.getStructuringElement(
        cv2.MORPH_ELLIPSE,
        (kernel_size, kernel_size),
    )
    eroded = cv2.erode(
        foreground,
        kernel,
        iterations=1,
        borderType=cv2.BORDER_CONSTANT,
        borderValue=0,
    )
    dilated = cv2.dilate(
        foreground,
        kernel,
        iterations=1,
        borderType=cv2.BORDER_CONSTANT,
        borderValue=0,
    )
    return eroded, dilated

3. 对偶性

定理 1.（腐蚀与膨胀的对偶性）

相对于全集的补集记为上标 $𝑐$ ，则

{(𝐴 - 𝐵)}^{𝑐} = 𝐴^{𝑐} + \hat{𝐵}, {(𝐴 + 𝐵)}^{𝑐} = 𝐴^{𝑐} - \hat{𝐵} .

证明.位置

𝑧

不属于

𝐴 - 𝐵

，等价于

𝐵_{𝑧}

至少有一点落入

𝐴^{𝑐}

；把这个相交条件改写为反射结构元素的膨胀，就得到第一式。第二式可对第一式同时取补集并将

𝐵

换成

\hat{𝐵}

得到。

□

对偶性既是理论关系，也是实现检查工具。例如用“补集—膨胀—补集”计算的腐蚀应与直接腐蚀一致。若不一致，通常是边界补充值、前景约定或非对称结构元素反射处理不同。

4. 灰度级腐蚀与膨胀

灰度形态学把二值集合的“完全包含”和“发生相交”推广为局部最小值与最大值。对平坦结构元素 $𝐵$ ，

\begin{aligned} (𝑓 - 𝐵) (𝑥, 𝑦) & = min_{(𝑠, 𝑡) \in 𝐵} 𝑓 (𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡), \\ (𝑓 + 𝐵) (𝑥, 𝑦) & = max_{(𝑠, 𝑡) \in 𝐵} 𝑓 (𝑥 - 𝑠, 𝑦 - 𝑡) . \end{aligned}

腐蚀选择邻域最暗值，因此缩小亮区、扩大暗区；膨胀选择邻域最亮值，因此扩大亮区、缩小暗区。非平坦结构元素还带高度函数 $𝑏 (𝑠, 𝑡)$ ，相应公式变为 $min (𝑓 - 𝑏)$ 和 $max (𝑓 + 𝑏)$ 。

kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_ELLIPSE, (11, 11))
gray_eroded = cv2.erode(gray, kernel)
gray_dilated = cv2.dilate(gray, kernel)

二、开运算与闭运算

1. 开运算

定义 5.（开运算）

集合 $𝐴$ 被 $𝐵$ 开运算定义为

𝐴 ○ 𝐵 = (𝐴 - 𝐵) + 𝐵 .

先腐蚀删除容不下结构元素的前景，再膨胀恢复其余区域的大致尺寸。

开运算能删除小亮点、切断细连接、平滑向外尖出的边界。它不会恢复在腐蚀阶段已经完全消失的分量，因此不是简单的“缩小后放大到原样”。

2. 闭运算

定义 6.（闭运算）

集合 $𝐴$ 被 $𝐵$ 闭运算定义为

𝐴 • 𝐵 = (𝐴 + 𝐵) - 𝐵 .

先膨胀跨越小缺口，再腐蚀恢复整体尺寸。

闭运算适合填小孔、连接窄裂缝、平滑向内凹陷。开与闭互为对偶，但实际去噪时仍要依据噪声极性选择：白色孤立点使用开运算，黑色小孔使用闭运算。

定理 2.（开闭运算的基本性质）

若结构元素包含原点，则开运算具有反扩张性 $𝐴 ○ 𝐵 \subseteq 𝐴$ ，闭运算具有扩张性 $𝐴 \subseteq 𝐴 • 𝐵$ ；二者均幂等：

(𝐴 ○ 𝐵) ○ 𝐵 = 𝐴 ○ 𝐵, (𝐴 • 𝐵) • 𝐵 = 𝐴 • 𝐵 .

3. 灰度级开闭运算

灰度开运算仍是先灰度腐蚀后灰度膨胀，用于压制比结构元素小的亮细节；灰度闭运算先膨胀后腐蚀，用于填平小暗细节。白顶帽 $𝑇_{𝑤} = 𝑓 - (𝑓 ○ 𝐵)$ 提取小亮结构，黑底帽 $𝑇_{𝑏} = (𝑓 • 𝐵) - 𝑓$ 提取小暗结构。

opened = cv2.morphologyEx(image, cv2.MORPH_OPEN, kernel)
closed = cv2.morphologyEx(image, cv2.MORPH_CLOSE, kernel)
white_tophat = cv2.morphologyEx(image, cv2.MORPH_TOPHAT, kernel)
black_tophat = cv2.morphologyEx(image, cv2.MORPH_BLACKHAT, kernel)

三、击中—击不中变换

定义 7.（击中—击不中变换）

设 $𝐵 = (𝐵_{1}, 𝐵_{2})$ ，其中 $𝐵_{1}$ 描述必须命中的前景形状， $𝐵_{2}$ 描述必须命中的背景形状，且二者不相交。变换定义为

𝐴 ⊛ 𝐵 = (𝐴 - 𝐵_{1}) \cap (𝐴^{𝑐} - 𝐵_{2}) .

结果中的位置同时满足前景约束和背景约束。

击中—击不中不是只寻找“像素相同”的模板匹配。它把局部结构拆成必须存在与必须不存在的两部分，适合检测端点、拐角、分叉和特定排列。旋转目标需要同时旋转模板并合并各方向结果。

# 1 表示必须为前景，-1 表示必须为背景，0 表示不关心。
template = np.array(
    [
        [-1, 1, -1],
        [0, 1, 0],
        [0, 1, 0],
    ],
    dtype=np.int8,
)
binary01 = (binary > 0).astype(np.uint8)
hits = cv2.morphologyEx(binary01, cv2.MORPH_HITMISS, template)

灰度图没有天然的前景与背景集合。常见扩展是先按一个或多个灰度阈值构造水平集，再对每个水平集应用二值击中—击不中；另一种做法是用灰度腐蚀分别约束局部下界与上界。必须明确所采用的灰度模板定义，不能直接把二值 MORPH_HITMISS 用于任意灰度数组。

四、边界提取

定义 8.（内边界）

使用包含原点的小结构元素 $𝐵$ ，集合 $𝐴$ 的形态学内边界定义为

𝛽 (𝐴) = 𝐴 - (𝐴 - 𝐵) .

腐蚀后仍保留的是内部，原集合减去内部便得到靠前景一侧的边界。

外边界可写为 $(𝐴 + 𝐵) - 𝐴$ ；形态学梯度为 $(𝐴 + 𝐵) - (𝐴 - 𝐵)$ ，同时覆盖内外两侧。结构元素越大，所得边界越厚。灰度形态学梯度用膨胀图减腐蚀图，能突出局部亮暗跨度。

kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_CROSS, (3, 3))
inner_boundary = cv2.subtract(binary, cv2.erode(binary, kernel))
outer_boundary = cv2.subtract(cv2.dilate(binary, kernel), binary)
gradient = cv2.morphologyEx(gray, cv2.MORPH_GRADIENT, kernel)

五、孔洞填充

定义 9.（孔洞）

二值前景

𝐴

中的孔洞是

𝐴^{𝑐}

内不与图像边界连通的背景连通分量。因而“黑色区域”不一定是孔洞；只有被前景完全包围的背景才是孔洞。

若已知孔洞中的一个种子点集合 $𝑋_{0}$ ，可以在补集内做受限膨胀：

𝑋_{𝑘} = (𝑋_{𝑘 - 1} + 𝐵) \cap 𝐴^{𝑐}, 𝑘 = 1, 2, \dots

直到 $𝑋_{𝑘} = 𝑋_{𝑘 - 1}$ 。最终填充结果是 $𝐴 \cup 𝑋_{𝑘}$ 。交集约束阻止生长穿过前景边界。

def fill_holes(binary: np.ndarray) -> np.ndarray:
    foreground = np.where(binary > 0, 255, 0).astype(np.uint8)
    reachable_background = foreground.copy()
    flood_mask = np.zeros(
        (foreground.shape[0] + 2, foreground.shape[1] + 2),
        dtype=np.uint8,
    )
    cv2.floodFill(reachable_background, flood_mask, (0, 0), 255)
    holes = cv2.bitwise_not(reachable_background)
    return cv2.bitwise_or(foreground, holes)

上述洪泛实现从图像边界背景出发，先找“不是孔洞”的背景，再取反得到全部孔洞。若左上角不是背景，应从全部边界背景像素建立种子，或先添加一圈背景边框。

六、连通分量提取

定义 10.（连通分量）

在指定的四邻接或八邻接关系下，若前景集合中的任意两点之间都存在完全位于前景内的路径，则该集合连通。极大的连通子集称为连通分量。

给定分量内的种子 $𝑝$ ，可令 $𝑋_{0} = {𝑝}$ ，迭代

𝑋_{𝑘} = (𝑋_{𝑘 - 1} + 𝐵) \cap 𝐴

直到稳定。这里与孔洞填充的形式相同，但约束集合从 $𝐴^{𝑐}$ 换成 $𝐴$ 。实际程序通常用 BFS、DFS 或两遍标记算法一次提取所有分量。

count, labels, statistics, centroids = cv2.connectedComponentsWithStats(
    (binary > 0).astype(np.uint8),
    connectivity=8,
)

for label in range(1, count):
    area = statistics[label, cv2.CC_STAT_AREA]
    left = statistics[label, cv2.CC_STAT_LEFT]
    top = statistics[label, cv2.CC_STAT_TOP]
    width = statistics[label, cv2.CC_STAT_WIDTH]
    height = statistics[label, cv2.CC_STAT_HEIGHT]
    component_mask = np.where(labels == label, 255, 0).astype(np.uint8)

七、凸壳

定义 11.（凸集与凸壳）

若集合

𝐶

中任意两点之间的整条线段都包含于

𝐶

，则

𝐶

为凸集。集合

𝐴

的凸壳

𝐻 (𝐴)

是包含

𝐴

的最小凸集。

凸壳填平所有向内凹陷，但不会简单地把包围盒全部填满。数字图像中既可用一组方向性击中—击不中模板迭代填补凹口，也可先提取轮廓，再使用几何算法计算凸壳顶点。后者更直接，并能返回有序多边形。

contours, _ = cv2.findContours(
    binary,
    cv2.RETR_EXTERNAL,
    cv2.CHAIN_APPROX_SIMPLE,
)
hull_mask = np.zeros_like(binary)
for contour in contours:
    hull = cv2.convexHull(contour)
    cv2.fillConvexPoly(hull_mask, hull, 255)

若多个物体必须分别处理，应先按连通分量或外轮廓计算各自凸壳；把所有前景点一次送入 convexHull 会得到包围全部物体的单个大凸壳。

八、细化与粗化

1. 细化

定义 12.（细化）

使用击中—击不中模板 $𝐵$ 的细化定义为

𝐴 \otimes 𝐵 = 𝐴 - (𝐴 ⊛ 𝐵) .

它删除符合模板的边界点。实际细化使用一组旋转模板循环处理，直到没有像素继续改变。

细化的目标是把宽线条压缩为单像素宽表示，同时保持端点、连通性和主要拓扑。不能用普通腐蚀替代，因为腐蚀会从所有方向同时收缩并最终删除整个物体。Zhang–Suen 算法在两个子迭代中检查八邻域：邻居数必须在 2 到 6 之间，按圆周从 0 到 1 的跃迁次数必须为 1，再利用两组方向条件避免同时删除关键连接点。

2. 粗化

定义 13.（粗化）

使用模板 $𝐵$ 的粗化定义为

𝐴 ⊙ 𝐵 = 𝐴 \cup (𝐴 ⊛ 𝐵) .

它把满足局部背景条件的位置加入前景，是细化在补集意义下的对偶。

粗化可以连接断裂骨架、恢复线宽或逐步构造凸壳，但同样需要终止条件或约束集合，否则会持续扩张。实际中常把新增像素限制在掩膜 $𝑀$ 内： $𝐴_{𝑘} = (𝐴_{𝑘 - 1} ⊙ 𝐵) \cap 𝑀$ 。

def one_thinning_pass(binary01: np.ndarray, phase: int) -> np.ndarray:
    source = binary01.copy()
    remove = []
    for y in range(1, source.shape[0] - 1):
        for x in range(1, source.shape[1] - 1):
            if source[y, x] == 0:
                continue
            neighbors = [
                source[y - 1, x], source[y - 1, x + 1],
                source[y, x + 1], source[y + 1, x + 1],
                source[y + 1, x], source[y + 1, x - 1],
                source[y, x - 1], source[y - 1, x - 1],
            ]
            count = sum(neighbors)
            transitions = sum(
                neighbors[index] == 0
                and neighbors[(index + 1) % 8] == 1
                for index in range(8)
            )
            if not 2 <= count <= 6 or transitions != 1:
                continue
            north, east, south, west = (
                neighbors[0], neighbors[2], neighbors[4], neighbors[6]
            )
            if phase == 0:
                safe = north * east * south == 0 and east * south * west == 0
            else:
                safe = north * east * west == 0 and north * south * west == 0
            if safe:
                remove.append((y, x))
    for y, x in remove:
        source[y, x] = 0
    return source

九、骨架

定义 14.（形态学骨架）

令 $𝐴 - 𝑘 𝐵$ 表示用 $𝐵$ 连续腐蚀 $𝑘$ 次， $𝐾$ 是使 $𝐴 - 𝐾 𝐵$ 非空的最大整数。骨架层定义为

𝑆_{𝑘} (𝐴) = (𝐴 - 𝑘 𝐵) - ((𝐴 - 𝑘 𝐵) ○ 𝐵),

完整骨架为

𝑆 (𝐴) = \cup_{𝑘 = 0}^{𝐾} 𝑆_{𝑘} (𝐴) .

骨架可以理解为所有最大内接结构元素中心的集合。若一个以骨架点为中心的结构元素仍能增大而保持在 $𝐴$ 内，它就不是最大内接元素。骨架适合描述形状的中心线、分支和局部厚度，但对边界噪声敏感：一个很小的凸起也可能产生很长的伪分支，因此常先平滑边界或在骨架后按分支长度剪枝。

定理 3.（由骨架重建集合）

若保留全部骨架层及其腐蚀次数，则

𝐴 = \cup_{𝑘 = 0}^{𝐾} (𝑆_{𝑘} (𝐴) + 𝑘 𝐵) .

def morphological_skeleton(binary: np.ndarray) -> np.ndarray:
    work = np.where(binary > 0, 255, 0).astype(np.uint8)
    skeleton = np.zeros_like(work)
    kernel = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_CROSS, (3, 3))

    while cv2.countNonZero(work) > 0:
        eroded = cv2.erode(work, kernel)
        opened = cv2.dilate(eroded, kernel)
        layer = cv2.subtract(work, opened)
        skeleton = cv2.bitwise_or(skeleton, layer)
        work = eroded
    return skeleton

这个循环实现集合公式：每轮产生一个 $𝑆_{𝑘}$ 层，再把输入腐蚀一次。若还要精确重建，必须分别保存各层及其 $𝑘$ ，而不能只保存所有层的并集图像。

References

[1] R. C. Gonzalez and R. E. Woods, Digital Image Processing, 4th ed. Pearson, 2018.
[2] OpenCV, “More Morphology Transformations.” Accessed: Aug. 28, 2026. [Online]. Available: https://docs.opencv.org/4.x/d3/dbe/tutorial_opening_closing_hats.html
[3] T. Y. Zhang and C. Y. Suen, “A Fast Parallel Algorithm for Thinning Digital Patterns,” Communications of the ACM, vol. 27, no. 3, pp. 236–239, 1984.