泛函分析（一）—

泛函分析（一）——距离空间

一、距离空间

定义 1.（距离空间）

在任一非空集合 $𝑋$ 中，若任意两个点 $𝑥, 𝑦 \in 𝑋$ 都有一个实数 $𝑑 (𝑥, 𝑦)$ 与之对应，并且满足以下条件：

非负性与同一性： $𝑑 (𝑥, 𝑦) \geq 0$ ；且 $𝑑 (𝑥, 𝑦) = 0$ 当且仅当 $𝑥 = 𝑦$ ；
对称性： $𝑑 (𝑥, 𝑦) = 𝑑 (𝑦, 𝑥)$ ；
三角不等式： $𝑑 (𝑥, 𝑧) \leq 𝑑 (𝑥, 𝑦) + 𝑑 (𝑦, 𝑧)$ 。

则称 $𝑑 (𝑥, 𝑦)$ 为 $𝑋$ 中的一个距离； $(𝑋, 𝑑)$ 是一个距离空间，不引起混淆的情况下可以简记为 $𝑋$ 。

这些距离的性质是符合我们在经典数学中对距离的直觉理解的。以下给出一些典型距离空间。

1.典型距离空间

欧几里得空间 $ℝ^{𝑛}$ ，它是 $𝑛$ 元实数组的全体。其距离定义为

𝑑 (𝑥, 𝑦) = \sqrt{\sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} {(𝑥_{𝑖} - 𝑦_{𝑖})}^{2}},

其中 $𝑥 = (𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛})$ ， $𝑦 = (𝑦_{1}, 𝑦_{2}, \dots, 𝑦_{𝑛})$ 。

$𝐶 [𝑎, 𝑏]$ 是闭区间 $[𝑎, 𝑏]$ 上的连续函数的全体。其距离定义为

𝑑 (𝑥, 𝑦) = max_{𝑡 \in [𝑎, 𝑏]} | 𝑥 (𝑡) - 𝑦 (𝑡) |,

其中 $𝑥, 𝑦 \in 𝐶 [𝑎, 𝑏]$ 。

$𝑠$ 是所有实数列 $𝑥 = {𝑥_{𝑘}} = (𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}, \dots)$ 的全体。其距离定义为

𝑑 (𝑥, 𝑦) = \sum_{𝑘 = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{𝑘}} \frac{| 𝑥_{𝑘} - 𝑦_{𝑘} |}{1 + | 𝑥_{𝑘} - 𝑦_{𝑘} |},

其中 $𝑥 = {𝑥_{𝑘}}$ ， $𝑦 = {𝑦_{𝑘}}$ 。

设 $𝐸 \subset ℝ$ 是一个勒贝格可测集，且 $0 < 𝑚 (𝐸) < \infty$ 。 $𝐸$ 上几乎处处有穷的可测函数全体记为 $𝑆$ ，定义距离为

𝑑 (𝑥, 𝑦) = \int_{𝐸} \frac{| 𝑥_{𝑡} - 𝑦_{𝑡} |}{1 + | 𝑥_{𝑡} - 𝑦_{𝑡} |} 𝑑 𝑡 .

离散空间 $𝐷$ 中，定义距离为

𝑑 (𝑥, 𝑦) = {\begin{cases} 0, & 𝑥 = 𝑦 \\ 1, & 𝑥 \neq 𝑦 \end{cases}

2.球、集与领域

既然在空间中已经有了距离的概念，那么很自然就可以想到继续在距离空间中定义与区间类似的“关于某一点与某点距离”的概念。

首先定义开球：

定义 2.（开球）

设 $(𝑋, 𝑑)$ 是一个距离空间， $𝑥_{0} \in 𝑋$ ， $𝑟 > 0$ 是实数。定义

𝐵 (𝑥_{0}, 𝑟) = {𝑥 \in 𝑋 : 𝑑 (𝑥, 𝑥_{0}) < 𝑟}

为以

𝑥_{0}

为中心、

𝑟

为半径的开球¹¹ 在教材中，使用

𝑆 (𝑥_{0}, 𝑟)

表示开球。

将定义中的 $<$ 改为 $\leq$ ，就非常自然地得到了闭球，记为。

显然，只要一个集能够被一个开球或闭球完全围住，那么该开球或闭球就划定了这个集的上下界，即有界。因此：

定义 3.（有界集）

设 $(𝑋, 𝑑)$ 是一个距离空间， $𝐴 \subset 𝑋$ 。若存在开球 $𝐵 (𝑥_{0}, 𝑟)$ ，使得

𝐴 \subset 𝐵 (𝑥_{0}, 𝑟),

则称

𝐴

是有界集。

反过来，如果要判定某个点是否在某个集的内部，就可用过开球是否是集的子集来判定：

定义 4.（内点）

设 $𝐴 \subset (𝑋, 𝑑)$ ， $𝑥 \in 𝐴$ 。若存在开球 $𝐵 (𝑥, 𝑟)$ ，使得

𝐵 (𝑥, 𝑟) \subset 𝐴,

则称

𝑥

是

𝐴

的一个内点。

因此，内点必然不会在集的边界上。有了内点的概念，就可以进一步定义开集，思想是简单的：既然开集不包含自己的边界，那么开集中的每一个点都是内点：

定义 5.（开集）

设

𝐴 \subset (𝑋, 𝑑)

。若

𝐴

中的每一个点都是

𝐴

的内点，则称

𝐴

是一个开集。

推论 1.

每个开球都是一个开集。

那么要如何判定一个集的内部？我们首先使用开子集的并集来定义内部：

定义 6.（内部）

设

𝐴 \subset (𝑋, 𝑑)

。所有

𝐴

的开子集的并集称为

𝐴

的内部，记为

𝐴^{0}

。

但这种定义太诘屈聱牙，不如换一种说法：

推论 2.

𝐴

的内部

𝐴^{0}

是

𝐴

的所有内点的集合。 ²² 另一方面，

𝐴^{0}

是开集，且是包含在

𝐴

中的最大开集。

接下来就可以进一步放宽限制，定义邻域：

定义 7.（邻域）

空间中的任一点 $𝑥$ ，包含 $𝑥$ 的任一开集称为 $𝑥$ 的一个邻域。

开球，或开集 $𝐵 (𝑥, 𝑟)$ 称为 $𝑥$ 的一个球邻域。

定理 1.（开集的性质）

设 $(𝑋, 𝑑)$ 是一个距离空间。则：

空集 $\emptyset$ 与全空间 $𝑋$ 都是开集；
任意多个开集³³ 指 $𝑋$ 中的开集，下同的并仍然是开集；
有限多个开集的交仍然是开集。

定义 8.（接触点与闭包）

若 $𝐴 \subset (𝑋, 𝑑)$ ， $𝑥 \in 𝑋$ 。对任意 $𝜀 > 0$ ，都有

𝐵 (𝑥, 𝜀) \cap 𝐴 \neq \emptyset,

则称 $𝑥$ 是 $𝐴$ 的一个接触点。

而所有 $𝐴$ 的接触点的集合称为 $𝐴$ 的闭包，记为。

通俗地说，只要以该点为球心的开球中总有 $𝐴$ 中的点，则该点就是接触点。这颇有一种从外向内的感觉，当某点从外靠近 $𝐴$ 时，到达边界时就使判定条件为真了，且继续向内时条件也总为真。即 $𝐴$ 中的点都是接触点；除此之外， $𝐴$ 的边界上的点也是接触点。以开集为例，它的闭包就是它本身并上它的边界。

另一方面，如果改为从内向外，就有极限点的概念：

定义 9.（极限点）

若 $𝐴 \subset (𝑋, 𝑑)$ ， $𝑥 \in 𝑋$ 。对任意 $𝜀 > 0$ ，都有

𝐵 (𝑥, 𝜀) \cap 𝐴 - {𝑥} \neq \emptyset,

则称

𝑥

是

𝐴

的一个极限点⁴⁴ 有时也称为聚点。

通俗地说，极限点与接触点的判定条件之间，只有唯一一个区别：开球是否是去心的。因此，极限点必然是接触点，而接触点不一定是极限点。而那些不是极限点的接触点，称为孤立点 ⁵⁵ 具体例子如 $(1, 2) \cup {0}$ ，其中 $0$ 是孤立点， $[1, 2]$ 是极限点。，这一概念与极限点是互斥的，即必然有 $极限点 \cap 孤立点 = \emptyset$ ， $接触点 = 极限点 \cup 孤立点$ 。

定理 2.（闭包的性质）

设 $𝐴, 𝐵 \subset (𝑋, 𝑑)$ ，则有：

；
；
；
；
闭包是闭集，且是包含 $𝐴$ 的最小闭集。

如果某个集等于它自己的闭包，那么这个集就是闭集。闭集具有以下性质：

定理 3.（闭集的性质）

设 $(𝑋, 𝑑)$ 是一个距离空间。则：

空集 $\emptyset$ 与全空间 $𝑋$ 都是闭集；
任意多个闭集的交仍然是闭集；
有限多个闭集的并仍然是闭集。1

可以与定理 1 对照，可以发现全空间与空集都既是开集又是闭集⁶⁶ 既是开集又是闭集的集不是唯二的，而是受空间结构的影响。。因此，开集与闭集的概念不是互斥的。

3.极限与收敛

有距离的概念，就可以定义极限。

定义 10.（极限与收敛的点列定义）

设 ${𝑥_{𝑛}}$ 是距离空间 $(𝑋, 𝑑)$ 中的一个点列， $𝑥_{0} \in 𝑋$ 。若 $𝑛 \to \infty$ 时 $𝑑 (𝑥_{𝑛}, 𝑥_{0}) \to 0$ ，则称当 $𝑛 \to \infty$ 时 ${𝑥_{𝑛}}$ 收敛于 $𝑥_{0}$ ，或称当 $𝑛 \to \infty$ 时 ${𝑥_{𝑛}}$ 以 $𝑥_{0}$ 为极限。记为

𝑥_{𝑛} \to 𝑥_{0} (𝑛 \to \infty),

或

lim_{{𝑛 \to \infty}} 𝑥_{𝑛} = 𝑥_{0} .

当然，我们上面已经定义了开球，因此也完全可以基于开球来定义极限。

定义 11.（极限与收敛的开球定义）

设 ${𝑥_{𝑛}}$ 是距离空间 $(𝑋, 𝑑)$ 中的一个点列， $𝑥_{0} \in 𝑋$ 。若对任意 $𝜀 > 0$ ，存在 $𝑁 \in$ ，使得当 $𝑛 > 𝑁$ 时有 $𝑥_{𝑛} \in 𝐵 (𝑥_{0}, 𝜀)$ ，则可记

lim_{{𝑛 \to \infty}} 𝑥_{𝑛} = 𝑥_{0} .

许多已知的极限相关定理，也可以直接迁移。

定理 4.

设 ${𝑥_{𝑛}}$ 是距离空间 $(𝑋, 𝑑)$ 中的收敛点列，那么：

${𝑥_{𝑛}}$ 的极限是唯一的；
若 ${lim}_{{𝑛 \to \infty}} 𝑥_{𝑛} = 𝑥_{0}$ ，则 ${𝑥_{𝑛}}$ 之任一子列 $𝑥_{𝑛_{𝑘}}$ 也收敛于 $𝑥_{0}$ ；
$| 𝑑 (𝑥, 𝑦) - 𝑑 (𝑥_{1}, 𝑦 (1)) | \leq 𝑑 (𝑥, 𝑥_{1}) + 𝑑 (𝑦, 𝑦 (1))$ 。

4.连续性

定义 12.（连续性）

设 $(𝑋, 𝑑_{𝑋})$ 和 $(𝑌, 𝑑_{𝑌})$ 是两个距离空间， $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ 是一个映射。若对任意 $𝑥_{0} \in 𝑋$ 和任意 $𝜀 > 0$ ，存在 $𝛿 > 0$ ，使得 $𝑑_{𝑋 (𝑥, 𝑥_{0})} < 𝛿$ 的一切 $𝑥 \in 𝑋$ 亦有 $𝑑_{𝑌 (𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑥_{0}))} < 𝜀$ ，则称 $𝑓$ 在 $𝑥_{0}$ 点连续。

若 $𝑓$ 在 $𝑋$ 的每一点都连续，则称 $𝑓$ 在 $𝑋$ 上连续。

特殊地，若对任意 $𝑥, 𝑦 \in 𝑋$ ，都有 $𝑑_{𝑌 (𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑦))} = 𝑑_{𝑋 (𝑥, 𝑦)}$ ，则称 $𝑓$ 是一个等距映射。

而若这两个距离空间存在一个映上的等距映射 $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ ，则称 $(𝑋, 𝑑_{𝑋})$ 和 $(𝑌, 𝑑_{𝑌})$ 等距。

等距映射必定是连续映射，且是一一映射。但等距映射不一定是映上的。

5. 稠密性

利用闭包，可以定义稠密性。

定义 13.（稠密性）

设

𝐴, 𝐵 \subset (𝑋, 𝑑)

，若

，则称

𝐵

在

𝐴

中稠密。

通俗地说，如果一个集合 $𝐵$ 在另一个集合 $𝐴$ 中稠密，那么 $𝐵$ 中的点可以任意接近 $𝐴$ 中的点。更数学一点地说， $\forall 𝑥 \in 𝐴, \forall 𝜀 > 0$ ，存在 $𝑦 \in 𝐵$ 使得 $𝑑 (𝑥, 𝑦) < 𝜀$ 。

定义 14.（可分）

设 $(𝑋, 𝑑)$ 是一个距离空间。若存在 $𝑋$ 的一个稠密可数子集 $𝐴$ ，则称 $(𝑋, 𝑑)$ 是可分的。

或者，若已有 $𝐴 \subset 𝑋$ ，若 $𝑋$ 中存在可数子集 $𝐵$ 使得 $𝐵$ 在 $𝐴$ 中稠密，则称 $𝐴$ 是可分的。

典型距离空间 $ℝ^{𝑛}, 𝐶 [𝑎, 𝑏]$ 都是可分的。