概率论（四）——抽样分布

一、基本概念

假设有一个整体 $𝑋$ ，从中选取一组样本 $𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}$ ，由这些随机变量组成的函数 $𝑔 (𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛})$ 亦是一个随机变量，称为统计量。

而若这些随机变量的样本值分别取值为 $𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}$ ，那么将这些样本值代入统计量函数中，统计量也会落入一个确定的值中，这个值称为观察值。

一些常用的统计量是：

(1)样本均值

(2)样本方差

(3)样本标准差

(4)样本 $𝑘$ 阶(原点)矩

𝐴_{𝑘} = \frac{1}{𝑛} \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑋_{𝑖}^{𝑘}

(5)样本 $𝑘$ 阶中心矩

¹¹ 值得注意的是，样本方差及标准差与随机变量的方差标准差有些区别。在随机变量中，方差前乘的是 $\frac{1}{𝑛}$ ，而样本方差则是 $\frac{1}{𝑛 - 1}$ 。随机变量的二阶中心矩是它的方差，而统计量的样本二阶中心矩不是它的样本方差。

总体 $𝑋$ 不仅具有理论分布函数 $𝐹 (𝑥)$ ，由于样本的选取还会产生经验分布函数。假设从总体本身有 $𝑛$ 个观察值 $𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \dots, 𝑥_{𝑛}$ (注意是观察值不是样本值)，以符号 $# (𝑥_{𝑖} \leq 𝑥)$ 表示这组观察值中小于等于 $𝑥$ 的值的个数，那么经验分布函数 $𝐹_{𝑛} (𝑥)$ 就写为：

𝐹_{𝑛} (𝑥) = \frac{# (𝑥_{𝑖} \leq 𝑥)}{𝑛}, - \infty < 𝑥 < + \infty

当样本容量趋于正无穷时，实际就是在用频率趋近概率。此时经验分布函数也会逼近理论分布函数。

二、 $𝜒^{2}$ 分布

假设 $𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}$ 都是来自标准正态分布 $𝑁 (0, 1)$ 的样本，那么统计量：

𝜒^{2} = 𝑋_{1}^{2} + 𝑋_{2}^{2} + \dots + 𝑋_{𝑛}^{2}

服从自由度为 $𝑛$ 的 $𝜒^{2}$ 分布，简记为 $𝜒^{2} \sim 𝜒^{2} (𝑛)$ 。 $𝜒^{2}$ 分布的概率密度函数为：

𝑓 (𝑥) = {\begin{cases} \frac{𝑥^{\frac{𝑛}{2} - 1} 𝑒^{- \frac{𝑥}{2}}}{2^{\frac{𝑛}{2}} 𝛤 (\frac{𝑛}{2})} & 𝑥 > 0 \\ 0 & Other Cases \end{cases}

$𝜒^{2}$ 分布的期望和方差很简单，分别是 $𝐸 (𝜒^{2}) = 𝑛, 𝐷 (𝜒^{2}) = 2 𝑛$ 。 $𝜒^{2}$ 分布还具有可加性，若有两个相互独立的 $𝜒^{2}$ 变量： $𝜒_{1}^{2} \sim 𝜒^{2} (𝑛_{1}), 𝜒_{2}^{2} \sim 𝜒^{2} (𝑛_{2})$ ，那么这两个变量之和依旧服从 $𝜒^{2}$ 分布：

𝜒_{1}^{2} + 𝜒_{2}^{2} \sim 𝜒^{2} (𝑛_{1} + 𝑛_{2})

$𝜒^{2}$ 分布的上 $𝛼$ 分位数记为 $𝜒_{𝛼 (𝑛)}^{2}$ ，需要同时给出 $𝛼, 𝑛$ 的值才能确定其值。当 $𝑛$ 充分大时，可以利用标准正态分布的上 $𝛼$ 分位数 $𝑧_{𝛼}$ 来估算之：

𝜒_{𝛼}^{2} (𝑛) \approx \frac{1}{2} {(𝑧_{𝛼} + \sqrt{2 𝑛 - 1})}^{2}

注 1.（上

𝛼

分位数）

复习：上 $𝛼$ 分位数，是指下式中：

𝑃 (𝑋 > 𝑧_{𝛼}) = 𝛼, 0 < 𝛼 < 1

当

𝑋

服从某种分布，那么

𝑧_{𝛼}

就称为这种分布的上

𝛼

分位数。特别地，总以

𝑧_{𝛼}

代表标准正态分布的上

𝛼

分位数，

𝜒_{𝛼}^{2} (𝑛)

代表

𝜒^{2}

分布的上

𝛼

分位数。

三、 $𝑡$ 分布

若两随机变量分别服从标准正态分布与 $𝜒^{2}$ 分布： $𝑋 \sim 𝑁 (0, 1), 𝑌 \sim 𝜒^{2} (𝑛)$ ，那么随机变量：

𝑡 = \frac{𝑋}{\sqrt{\frac{𝑌}{𝑛}}}

服从自由度为 $𝑛$ 的 $𝑡$ 分布，又称为学生氏分布，简记为 $𝑡 \sim 𝑡 (𝑛)$ 。其概率密度函数 $ℎ (𝑡)$ 是一个类似于正态分布的以 $𝑦$ 轴为轴的轴对称图形，因此定义域是整个实数域：

ℎ (𝑡) = \frac{𝛤 (\frac{𝑛 + 1}{2})}{\sqrt{𝜋 𝑛} 𝛤 (\frac{𝑛}{2})} {(1 + \frac{𝑡^{2}}{𝑛})}^{- \frac{𝑛 + 1}{2}}

当 $𝑛 \to + \infty$ 时，上式就趋于标准正态分布。在实用时，当 $𝑛 > 45$ 就以标准正态分布来近似之。

由于其轴对称性，其上 $𝛼$ 分位数具有性质 $𝑡_{1 - 𝛼} (𝑛) = - 𝑡_{𝛼} (𝑛)$ 。当 $𝑛 > 45$ 时，取 $𝑡_{𝛼} (𝑛) \approx 𝑧_{𝛼}$ 。

四、 $𝐹$ 分布

若两个相互独立的随机变量都服从 $𝜒^{2}$ 分布： $𝑋 \sim 𝜒^{2} (𝑛_{1}), 𝑌 \sim 𝜒^{2} (𝑛_{2})$ ，那么随机变量：

𝐹 = \frac{\frac{𝑋}{𝑛_{1}}}{\frac{𝑌}{𝑛_{2}}}

服从自由度为 $(𝑛_{1}, 𝑛_{2})$ 的 $𝐹$ 分布，简记为 $𝐹 \sim 𝐹 (𝑛_{1}, 𝑛_{2})$ 。其概率密度函数：

𝜓 (𝑥) = {\begin{cases} \frac{𝛤 (\frac{𝑛_{1} | 𝑛_{2}}{2}) {(\frac{𝑛_{1}}{𝑛_{2}})}^{\frac{𝑛_{1}}{2}} 𝑥^{\frac{𝑛_{1}}{2} - 1}}{𝛤 (\frac{𝑛_{1}}{2}) 𝛤 (\frac{𝑛_{2}}{2}) {(1 + \frac{𝑛_{1} 𝑥}{𝑛_{2}})}^{\frac{𝑛_{1} + 𝑛_{2}}{2}}} & 𝑥 > 0 \\ 0 & Other Cases \end{cases}

由此，若 $𝐹 \sim 𝐹 (𝑛_{1}, 𝑛_{2})$ ，那么 $\frac{1}{𝐹} \sim 𝐹 (𝑛_{2}, 𝑛_{1})$ 。同样，对于 $𝐹$ 分布的上 $𝛼$ 分位数 $𝐹_{𝛼} (𝑛_{1}, 𝑛_{2})$ ，也有 $𝐹_{1 - 𝛼} (𝑛_{1}, 𝑛_{2}) = \frac{1}{𝐹_{𝛼} (𝑛_{2}, 𝑛_{1})}$ 。

五、正态总体的样本均值与样本方差的分布

对于总体 $𝑋$ (不限定其分布)，若其有期望和方差 $𝐸 (𝑋) = 𝜇, 𝐷 (𝑋) = 𝜎^{2}$ ，而其一个样本 $𝑋_{1}, 𝑋_{2}, \dots, 𝑋_{𝑛}$ 的样本均值和样本方差分别为，那么：

现在我们限定总体 $𝑋$ 服从正态分布 $𝑁 (𝜇, 𝜎^{2})$ 。其样本均值与样本方差是相互独立的。那么：

\frac{(𝑛 - 1) 𝑆^{2}}{𝜎^{2}} \sim 𝜒^{2} (𝑛 - 1)

现在我们再限定样本 $𝑋_{1 \sim 𝑛_{1}}, 𝑌_{1 \sim 𝑛_{2}}$ 分别来自正态分布 $𝑁 (𝜇_{1}, 𝜎_{1}^{2}), 𝑁 (𝜇_{2}, 𝜎_{2}^{2})$ 且相互独立，这两组样本的样本均值和样本方差分别记为。那么：

\frac{\frac{𝑆_{1}^{2}}{𝑆_{2}^{2}}}{\frac{𝜎_{1}^{2}}{𝜎_{2}^{2}}} \sim 𝐹 (𝑛_{1} - 1, 𝑛_{2} - 1)

而当 $𝜎_{1}^{2} = 𝜎_{2}^{2} = 𝜎^{2}$ 时，记 $𝑆_{𝑊}^{2} = \frac{(𝑛_{1} - 1) 𝑆_{1}^{2} + (𝑛_{2} - 1) 𝑆_{2}^{2}}{𝑛_{1} + 𝑛_{2} - 2}$ ，还有：