信号系统（六）—

信号系统（六）——Z变换

一、双边 $𝑍$ 变换的计算

1. $𝑍$ 变换引入

类似于从连续傅里叶变换推广到拉普拉斯变换，也可以从离散傅里叶变换推广为 $𝑍$ 变换——可以说， $𝑍$ 变换就是离散形式的拉普拉斯变换。离散傅里叶变换的定义是：

𝑋 (e^{j 𝜔}) = ℱ︀ {𝑥 [𝑛]} = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] e^{- j 𝜔 𝑛}

显然 $e^{j 𝜔}$ 是复平面上的一个单位圆。现在要将 $e^{j 𝜔}$ 扩展为整个复平面，最简单的做法当然是为其附上长度，也就是复数的极坐标表示法：

𝑧 = 𝑟 e^{j 𝜔}

这样推广之后就是双边 $𝑍$ 变换：

定义 1.（双边

𝑍

变换）

\begin{aligned} 𝑋 (𝑧) & = 𝒵︀ {𝑥 [𝑛]} = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑧^{- 𝑛} \\ = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} (𝑥 [𝑛] 𝑟^{- 𝑛}) e^{- j 𝜔 𝑛} \\ = ℱ︀ {𝑥 [𝑛] 𝑟^{- 𝑛}} \end{aligned}

也就是说， $𝑍$ 变换可以看做 $𝑥 [𝑛] 𝑟^{- 𝑛}$ 的离散傅里叶变换，而 $𝑥 [𝑛]$ 的傅里叶变换也可以看做 $𝑧 = e^{- j 𝜔 𝑛}$ 即 $𝑟 = 1$ 时的 $𝑍$ 变换。

2. $𝑍$ 变换的收敛域，零点与极点

同样地，对于给定的信号 $𝑥 [𝑛]$ ，也应有 $𝑟 = | 𝑧 |$ 处在一定范围内时才能使求和收敛，这个范围就是 $𝑍$ 变换的收敛域 $ROC$ 。正如之前所说， $𝑥 [𝑛]$ 的傅里叶变换可以看做 $𝑟 = 1$ 时的 $𝑍$ 变换，因此当 $𝑍$ 变换的收敛域中包含(复平面上的)单位圆时 $𝑥 [𝑛]$ 的傅里叶变换也收敛。

同样地，我们还是只关注变换结果为有理分式的那些信号，也就是指数函数的线性组合。设：

𝑋 (𝑧) = \frac{𝑀 (𝑧)}{𝐷 (𝑧)}

与拉普拉斯变换相同，将分母多项式 $𝐷 (𝑧)$ 的根称为极点，而分子多项式 $𝑀 (𝑧)$ 的根称为零点。在现实中，我们更多处理的是 $𝑛 < 0$ 时 $𝑥 [𝑛] = 0$ 的右边信号，此时按照 $𝑍$ 变换的定义式：

𝑋 (𝑧) = 𝒵︀ {𝑥 [𝑛]} = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑧^{- 𝑛}

其变换结果就应是 $𝑧$ 之负幂的求和，因此对于这些信号我们也乐意写为：

𝑋 (𝑧) = \frac{𝑀 (𝑧^{- 1})}{𝐷 (𝑧^{- 1})}

这些表示方法是等价的，也不改变零点和极点。

3. $𝑍$ 逆变换

同样地，由离散傅里叶逆变换可以推出 $𝑍$ 逆变换：

𝑥 [𝑛] = \frac{1}{2 𝜋 j} \oint 𝑋 (𝑧) 𝑧^{𝑛 - 1} 𝑑 𝑧

然而我们只关注具有有理分式形式的 $𝑋 (𝑧)$ 。可以像拉普拉斯逆变换那样，将 $𝑋 (𝑧)$ 拆写为简单有理分式之和：

𝑋 (𝑧) = \sum \frac{𝐴_{𝑖}}{1 - 𝑎_{𝑖} 𝑧^{- 1}}

从而根据收敛域，将 $\frac{𝐴_{𝑖}}{1 - 𝑎_{𝑖} 𝑧^{- 1}}$ 逆变换为 $𝐴_{𝑖} 𝑎_{𝑖}^{𝑛} 𝑢 [𝑛]$ 或 $- 𝐴_{𝑖} 𝑎_{𝑖}^{𝑛} 𝑢 [- 𝑛 - 1]$ 其中之一。另一种逆变换方式是将 $𝑋 (𝑧)$ 展开为洛朗级数，也就是像定义式那样的幂级数：

𝑋 (𝑧) = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑎_{𝑛} 𝑧^{- 𝑛}

对比定义式显然有 $𝑥 [𝑛] = 𝑎_{𝑛}$ 。

二、收敛域与极点的关系

1.收敛域的形状

$𝑍$ 变换与拉普拉斯变换最大的不同体现在收敛域的形状。在拉普拉斯变换中，积分的收敛由 $𝜎$ 决定，而 $𝜎$ 却处在指数的位置上——因此收敛与 $ℛ︀ℯ︀ {𝑠}$ 有关，在复平面上体现为一个带状区域。而 $𝑍$ 变换的收敛由 $𝑟$ 决定，也就是 $𝑧$ 的模 $| 𝑧 |$ ，因此在复平面上体现为一个以原点为中心的圆环区域。

所以在表述 $𝑍$ 变换的收敛域时，常常以关于模长 $| 𝑧 |$ 的不等式表示。

2.收敛域内无极点

这一点与拉普拉斯变换是相同的。

3.收敛域何时为整个复平面

当 $𝑥 [𝑛]$ 是有限长序列时，收敛域就是整个复平面——但可能不包括原点 $| 𝑧 | = 0$ 和无穷远 $| 𝑧 | = \infty$ 。

之所以要剔除掉这两个情况，是因为在 $𝑍$ 变换的定义式中：

𝑋 (𝑧) = 𝒵︀ {𝑥 [𝑛]} = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑧^{- 𝑛}

所得结果是可能包含 $𝑧$ 的负幂和正幂的。

4.当 $𝑋 (𝑧)$ 是有理分式

当 $𝑋 (𝑧)$ 是有理分式，那么其收敛域就由极点或无穷远界定。

5.右边序列

如果信号 $𝑥 [𝑛]$ 是右边序列，那么其收敛域就由内边界向外(无穷远)延伸。结合性质 $4$ ，如果 $𝑋 (𝑧)$ 还是有理分式的话，那么收敛域就由最外的极点开始延伸至无穷远¹¹ 但不一定包括无穷远。在此基础上，如果 $𝑥 [𝑛]$ 还是个因果信号，那么收敛域包含 $| 𝑧 | = \infty$ 。 ²² 所谓最外的极点，指的是模长 $| 𝑧 |$ 最大的那个极点。同理，最内的极点是指模长最小的极点。

6.左边序列

如果信号 $𝑥 [𝑛]$ 是左边序列，那么其收敛域就由外边界向内(原点)缩小。结合性质 $4$ ，如果 $𝑋 (𝑧)$ 还是有理分式的话，那么收敛域就由最内的极点开始缩小至原点³³ 但不一定包括原点。在此基础上，如果 $𝑥 [𝑛]$ 还是个反因果信号，那么收敛域包含 $| 𝑧 | = 0$ 。

7.双边序列

由于双边序列可以分解为右边序列和左边序列，因此双边序列的收敛域至少是两者的收敛域之交。

三、 $𝑍$ 变换的性质

假设有信号 $𝑥_{1} [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋_{1} (𝑧), 𝑥_{2} [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋_{2} (𝑧)$ ，并且分别具有收敛域 $𝑅_{1}, 𝑅_{2}$ 。

1.时间平移

若时间发生平移 $𝑛 \to 𝑛 - 𝑛_{0}$ ：

𝑥 [𝑛 - 𝑛_{0}] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑧^{- 𝑛_{0}} 𝑋 (𝑧)

其收敛域还是 $𝑅$ ，但可能会增加或剔除 $| 𝑧 | = 0$ 或 $| 𝑧 | = \infty$ 。

2.时间伸缩

若时间发生伸缩变换 $𝑛 \to \frac{𝑛}{𝛼}$ (要求 $𝛼 \geq 1$ ，也就是对于离散信号而言，只考虑时间的膨胀)：

𝑥 [\frac{𝑛}{𝛼}] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋 (𝑧^{𝛼})

此时收敛域为 $𝑅^{\frac{1}{𝛼}}$ 。

时间反演相当于取 $𝛼 = - 1$ ，此时有：

𝑥 [- 𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋 (𝑧^{- 1})

3.复域伸缩

由于我们现在是以极坐标的形式考虑复数，因此考虑 $\frac{𝑧}{𝑧_{0}}$ 就变得有意义起来。在一般情况下有：

𝑧_{0}^{𝑛} 𝑥 [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋 (\frac{𝑧}{𝑧_{0}})

而其收敛域为 $𝑧_{0} 𝑅$ 。当取 $𝑟 = | 𝑧_{0} | = 1$ 时，即 $𝑧_{0} = e^{j 𝜔_{0}}$ ，就得到了我们之前常常见到的形式：

e^{j 𝜔_{0} 𝑛} 𝑥 [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋 (e^{- j 𝜔_{0}} 𝑧)

注 1.

应当指出，

\frac{𝑧}{𝑧_{0}}

相当于使

𝑧

的模长缩小

| 𝑧_{0} |

倍，而相位则减少

𝜔_{0} = arg (𝑧_{0})

。因此复域伸缩实际还包含了旋转的操作，会使所有零点极点顺时针旋转

𝜔_{0}

的同时，向原点缩短

| 𝑧_{0} |

倍。

另一个重要的特例是当 $𝑧_{0}$ 取实数时即 $𝑧_{0} = 𝛼$ ，相应地有：

𝛼^{𝑛} 𝑥 [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋 (𝛼^{- 1} 𝑧)

4.信号共轭

当取信号的共轭：

其收敛域还是 $𝑅$ 。

5.信号相加(线性)

𝛼 𝑥_{1} [𝑛] + 𝛽 𝑥_{2} [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝛼 𝑋_{1} (𝑧) + 𝛽 𝑋_{2} (𝑧)

其收敛域至少是 $𝑅_{1} \cap 𝑅_{2}$ 。

6.信号差分

𝑥 [𝑛] - 𝑥 [𝑛 - 1] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} (1 - 𝑧^{- 1}) 𝑋 (𝑧)

其收敛域至少是 $𝑅 \cap (| 𝑧 | > 0)$ 。

7.信号累加

\sum_{𝑘 = - \infty}^{𝑛} 𝑥 [𝑘] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} \frac{1}{1 - 𝑧^{- 1}} 𝑋 (𝑧)

其收敛域至少是 $𝑅 \cap (| 𝑧 | > 1)$ 。

8.时域卷积(复域相乘)

𝑥_{1} [𝑛] * 𝑥_{2} [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋_{1} (𝑧) 𝑋_{2} (𝑧)

其收敛域至少是 $𝑅_{1} \cap 𝑅_{2}$ 。

9.复域微分

若对 $𝑋 (𝑧)$ 在复域上微分：

𝑛 𝑥 [𝑛] \overset{𝒵︀}{\leftrightarrow︎} - 𝑧 \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} 𝑋 (𝑧)

其收敛域还是 $𝑅$ 。

10.初值定理

这个定理要求 $𝑥 [𝑛]$ 是以 $0$ 为界的右边信号，即当 $𝑛 < 0$ 时 $𝑥 [𝑛] = 0$ 。有初值定理：

𝑥 [0] = lim_{𝑧 \to \infty} 𝑋 (𝑧)

四、系统函数

正如拉普拉斯变换那般，系统函数 $𝐻 (𝑧)$ 能够非常方便地揭示系统的性质。

1.因果性

对于离散线性时不变系统而言，如果其系统函数的收敛域从某个圆开始向外延伸，并且包含无穷远，那么这个系统就是因果的。这个结论的逆命题是成立的。

在说明收敛域的性质时我们也已说明过 $𝐻 (𝑧)$ 为因果的且为有理分式时收敛域的性质。此时其收敛域在最外的极点之外并以之为界，并且收敛域中包含无穷远。而对于“收敛域包含无穷远”这一表述，又有几种不同等价的形式。因果代表 $𝐻 (𝑧)$ 的幂级数形式中必然含有 $𝑧$ 的正幂项，这就是收敛域包含无穷远的原因。这等价于 $𝐻 (𝑧)$ 在无穷远没有极点；也就等价于， $𝐻 (𝑧)$ 的分子多项式的次数不能高于分母多项式。

2.稳定性

对于离散线性时不变系统而言，稳定性就等价于单位脉冲响应 $ℎ [𝑛]$ 的傅里叶变换是收敛的。因此，当 $𝐻 (𝑧)$ 的收敛域中包含单位圆，那么系统就是稳定的。

对于因果的且具有有理分式的 $𝐻 (𝑧)$ 的系统，与上述等价的描述是：所有极点均在单位圆内。

五、单边 $𝑍$ 变换及其特殊性质

1.单边 $𝑍$ 变换

类似地，单边 $𝑍$ 变换定义为：

𝒳︀ (𝑧) = 𝒰︀𝒵︀ {𝑥 [𝑛]} = \sum_{𝑛 = 0}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑧^{- 𝑛}

单边 $𝑍$ 变换的收敛域必然从某个圆开始向外延伸。注意到对于单边 $𝑍$ 变换来说不应包含 $𝑧$ 的正幂项，也就是说，如果 $𝒳︀ (𝑧)$ 是有理分式，那么其分子的次数必然不能超过分母的次数。

单边 $𝑍$ 变换相比双边 $𝑍$ 变换的性质基本相同，但对于信号卷积，需要严格要求当 $𝑛 < 0$ 时 $𝑥_{1} [𝑛], 𝑥_{2} [𝑛]$ 都为 $0$ ，否则性质不成立。

时间平移与信号差分这两个性质则有较大不同。在这里，信号差分中会携带原信号某些时刻值的特性的来源，是时间平移的特性。

2.时间平移

对于信号 $𝑥 [𝑛 - 1]$ ，其单边 $𝑍$ 变换可以计算如下：

\begin{aligned} 𝒰︀𝒵︀ {𝑥 [𝑛 - 1]} & = \sum_{𝑛 = 0}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛 - 1] 𝑧^{- 𝑛} \\ = 𝑥 [- 1] + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛 - 1] 𝑧^{- 𝑛} \\ = 𝑥 [- 1] + \sum_{𝑛 = 0}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑧^{- 𝑛 - 1} \\ = 𝑧^{- 1} 𝒳︀ (𝑧) + 𝑥 [- 1] \end{aligned}

也就是：

𝑥 [𝑛 - 1] \overset{𝒰︀𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑧^{- 1} 𝒳︀ (𝑧) + 𝑥 [- 1]

归纳而言，在一般情况下存在(要求 $𝑚 > 0$ )：

𝑥 [𝑛 - 𝑚] \overset{𝒰︀𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑧^{- 𝑚} 𝒳︀ (𝑧) + 𝑧^{- 𝑚 + 1} 𝑥 [- 1] + 𝑧^{- 𝑚 + 2} 𝑥 [- 2] + \dots + 𝑥 [- 𝑚]

以上对应的是时延。而另一方面，对于时间超前：

\begin{aligned} 𝒰︀𝒵︀ {𝑥 [𝑛 + 1]} & = \sum_{𝑛 = 0}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛 + 1] 𝑧^{- 𝑛} \\ = - 𝑧 𝑥 [0] + 𝑧 𝑥 [0] + \sum_{𝑛 = 1}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑧^{- 𝑛 + 1} \\ = - 𝑧 𝑥 [0] + 𝑧 \sum_{𝑛 = 0}^{+ \infty} 𝑥 [𝑛] 𝑧^{- 𝑛} \\ = 𝑧 𝒳︀ (𝑧) - 𝑧 𝑥 [0] \end{aligned}

也就是：

𝑥 [𝑛 + 1] \overset{𝒰︀𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑧 𝒳︀ (𝑧) - 𝑧 𝑥 [0]

归纳而言，在一般情况下存在(要求 $𝑚 > 0$ )：

𝑥 [𝑛 + 𝑚] \overset{𝒰︀𝒵︀}{\leftrightarrow︎} 𝑧^{𝑚} 𝒳︀ (𝑧) - 𝑧^{𝑚} 𝑥 [0] - 𝑧^{𝑚 - 1} 𝑥 [1] - \dots - 𝑧 𝑥 [𝑚]

3.信号差分

因此，利用时间平移的性质，可以得到单边 $𝑍$ 变换下的信号差分性质：

𝑥 [𝑛] - 𝑥 [𝑛 - 1] \overset{𝒰︀𝒵︀}{\leftrightarrow︎} (1 - 𝑧^{- 1}) 𝒳︀ (𝑧) - 𝑥 [- 1]

六、基本 $𝑍$ 变换表

以下给出一些常见函数的双边 $𝑍$ 变换表：

表 1 基本 $𝑍$ 变换表

信号	Z 变换	ROC
$𝑥 [𝑛]$	$𝑋 (𝑧) = 𝒵︀ {𝑥 [𝑛]}$	全部 $𝑧$
$𝛿 [𝑛]$	$1$	全部 $𝑧$
$𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}]$	$𝑧^{- 𝑛_{0}}$	满足 $𝑛_{0} > 0$ 时 $𝑧 \neq 0$
$𝛿 [𝑛 - 𝑛_{0}]$	$𝑧^{- 𝑛_{0}}$	满足 $𝑛_{0} < 0$ 时 $𝑧 \neq \infty$
$𝑢 [𝑛]$	$\frac{1}{1 - 𝑧^{- 1}}$	$\| 𝑧 \| > 1$
$- 𝑢 [- 𝑛 - 1]$	$\frac{1}{1 - 𝑧^{- 1}}$	$\| 𝑧 \| < 1$
$𝛼^{𝑛} 𝑢 [𝑛]$	$\frac{1}{1 - 𝛼 𝑧^{- 1}}$	$\| 𝑧 \| > \| 𝛼 \|$
$𝑛 𝛼^{𝑛} 𝑢 [𝑛]$	$\frac{𝛼 𝑧^{- 1}}{{(1 - 𝛼 𝑧^{- 1})}^{2}}$	$\| 𝑧 \| > \| 𝛼 \|$
$- 𝛼^{𝑛} 𝑢 [- 𝑛 - 1]$	$\frac{1}{1 - 𝛼 𝑧^{- 1}}$	$\| 𝑧 \| < \| 𝛼 \|$
$- 𝑛 𝛼^{𝑛} 𝑢 [- 𝑛 - 1]$	$\frac{𝛼 𝑧^{- 1}}{{(1 - 𝛼 𝑧^{- 1})}^{2}}$	$\| 𝑧 \| < \| 𝛼 \|$
$cos (𝜔_{0} 𝑛) \cdot 𝑢 [𝑛]$	$\frac{1 - (cos 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1}}{1 - (2 cos 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1} + 𝑧^{- 2}}$	$\| 𝑧 \| > 1$
$sin (𝜔_{0} 𝑛) \cdot 𝑢 [𝑛]$	$\frac{(sin 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1}}{1 - (2 cos 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1} + 𝑧^{- 2}}$	$\| 𝑧 \| > 1$
$𝑟^{𝑛} cos (𝜔_{0} 𝑛) \cdot 𝑢 [𝑛]$	$\frac{1 - (𝑟 cos 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1}}{1 - (2 𝑟 cos 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1} + 𝑟^{2} 𝑧^{- 2}}$	$\| 𝑧 \| > 𝑟$
$𝑟^{𝑛} sin (𝜔_{0} 𝑛) \cdot 𝑢 [𝑛]$	$\frac{(𝑟 sin 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1}}{1 - (2 𝑟 cos 𝜔_{0}) 𝑧^{- 1} + 𝑟^{2} 𝑧^{- 2}}$	$\| 𝑧 \| > 𝑟$