信号系统（七）——积分变换与微分方程

到目前为止，我们还只是简单认为，直接知道输入 $𝑥 (𝑡)$ 到输出 $𝑦 (𝑡)$ 之间的映射是什么，或者直接知道在给定输入 $𝑥 (𝑡)$ 的情况下会得到怎样的输出 $𝑦 (𝑡)$ 。在此情况下，利用信号卷积，系统函数 $𝐻 (\dots)$ 显然就是：

𝐻 (\dots) = \frac{𝑌 (\dots)}{𝑋 (\dots)}

但在实际理论分析应用中，以上这些信息并不容易获取；更多的是在已知系统中的数学规律的情况下，列出微分方程，例如对力学系统、或是电路系统的分析。并且，这类系统的微分方程在大部分情况下是线性常系数微分方程，也就是如下形式：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} \frac{𝑑^{𝑘}}{{𝑑 𝑡}^{𝑘}} 𝑦 (𝑡) = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} \frac{𝑑^{𝑘}}{{𝑑 𝑡}^{𝑘}} 𝑥 (𝑡)

另外，有些时候我们也需要分析离散系统。此时并非微分方程，而是差分方程。线性常系数差分方程的一般形式如下：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} 𝑦 [𝑛 - 𝑘] = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} 𝑥 [𝑛 - 𝑘]

一、连续傅里叶变换与线性常系数微分方程

只需要将微分方程两边同时施行傅里叶变换：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} ℱ︀ {\frac{𝑑^{𝑘}}{{𝑑 𝑡}^{𝑘}} 𝑦 (𝑡)} = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} ℱ︀ {\frac{𝑑^{𝑘}}{{𝑑 𝑡}^{𝑘}} 𝑥 (𝑡)}

进一步利用信号微分：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} {(j 𝜔)}^{𝑘} 𝑌 (j 𝜔) = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} {(j 𝜔)}^{𝑘} 𝑋 (j 𝜔)

$𝑋 (j 𝜔), 𝑌 (j 𝜔)$ 中不含 $𝑘$ ，因此可以提取到求和号外。于是系统函数就非常显然了：

𝐻 (j 𝜔) = \frac{𝑌 (j 𝜔)}{𝑋 (j 𝜔)} = \frac{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘 (j 𝜔)}^{𝑘}}{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘 (j 𝜔)}^{𝑘}}

因此，对于线性常系数微分方程，其系统函数是有理分式。这样，对于任意具有有理分式形式傅里叶变换的输入 $𝑥 (𝑡)$ ，就可以在计算 $𝑌 (j 𝜔) = 𝐻 (j 𝜔) 𝑋 (j 𝜔)$ 之后，利用部分分式展开，非常方便地逆变换为时域上的输出信号 $𝑦 (𝑡)$ 。

二、拉普拉斯变换与线性常系数微分方程

1.双边拉普拉斯变换

只需要将微分方程两边同时施行拉普拉斯变换：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} ℒ︀ {\frac{𝑑^{𝑘}}{{𝑑 𝑡}^{𝑘}} 𝑦 (𝑡)} = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} ℒ︀ {\frac{𝑑^{𝑘}}{{𝑑 𝑡}^{𝑘}} 𝑥 (𝑡)}

进一步利用信号微分：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} 𝑠^{𝑘} 𝑌 (𝑠) = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} 𝑠^{𝑘} 𝑋 (𝑠)

$𝑋 (𝑠), 𝑌 (𝑠)$ 中不含 $𝑘$ ，因此可以提取到求和号外。于是系统函数就非常显然了：

𝐻 (𝑠) = \frac{𝑌 (𝑠)}{𝑋 (𝑠)} = \frac{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} 𝑠^{𝑘}}{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} 𝑠^{𝑘}}

为了确定系统函数的收敛域，一般我们应当指定系统的性质，例如因果性或稳定性。之后就可以对系统的性质做出进一步的分析。

对于线性常系数微分方程，其系统函数是有理分式。这样，对任意具有有理分式形式拉普拉斯变换的输入 $𝑥 (𝑡)$ ，就可以在计算 $𝑌 (𝑠) = 𝐻 (𝑠) 𝑋 (𝑠)$ 之后，利用部分分式展开，结合收敛域，非常方便地逆变换为时域上的输出信号 $𝑦 (𝑡)$ 。

2.单边拉普拉斯变换

由于单边拉普拉斯变换的信号微分性质——即信号求导后、其拉普拉斯变换会携带初值信息，因此在不仅给出线性常系数微分方程、还给出各阶导数的初始值时，常会利用之求解。 ¹¹ 具体的使用例可参照以下文章：

在使用积分变换之后，我们将微分方程转化为了代数方程来求解。值得补充的是，有时我们可以将输入信号 $𝑥 (𝑡)$ 重写为 $𝛼 𝑥 (𝑡)$ 。在单边拉普拉斯变换之后得到输出的拉普拉斯变换为有理分式之和：

𝒴︀ (𝑠) = \sum \frac{Λ_{𝑖}}{𝑠 + 𝜆_{𝑖}}

记各阶导数的初始值为 $[𝜓] = 𝜓_{0}, 𝜓_{1}, \dots$ ，那么上式中系数分子 $Λ_{𝑖}$ 必然是关于 $𝛼$ 与初始值 $[𝜓]$ 的函数，即 $Λ_{𝑖} = Λ_{𝑖} (𝛼, [𝜓])$ ，并且仅是线性组合的关系，也就是可以拆写为 $Λ_{𝑖} = Λ_{𝑖_{1}} (𝛼) + Λ_{𝑖_{2}} ([𝜓])$ 。由此可以将 $𝒴︀ (𝑠)$ 按照相关参数重新组合：

𝒴︀ (𝑠) = \sum \frac{Λ_{𝑖_{1}} (𝛼)}{𝑠 + 𝜆_{𝑖}} + \sum \frac{Λ_{𝑖_{2}} ([𝜓])}{𝑠 + 𝜆_{𝑖}}

当 $𝛼 = 1$ 时自然就是原方程的解。但是，当我们置 $𝛼 = 0$ 时，相当于系统接受的输入为 $0$ ，但依然产生输出：

{𝒴︀}_{2} (𝑠) = \sum \frac{Λ_{𝑖_{2}} ([𝜓])}{𝑠 + 𝜆_{𝑖}}

将这个输出称为系统的零输入响应。

同样地，如果置 $[𝜓] = 0$ ²² 意思是使所有的初始值 $𝜓_{𝑖}$ 都取 $0$ ，就相当于初始松弛条件，或称为令系统初始状态为 $0$ ，由此产生的输出：

{𝒴︀}_{1} (𝑠) = \sum \frac{Λ_{𝑖_{1}} (𝛼)}{𝑠 + 𝜆_{𝑖}}

就称为系统的零状态响应。

系统的总响应表达式：

𝒴︀ (𝑠) = \sum \frac{Λ_{𝑖_{1}} (𝛼)}{𝑠 + 𝜆_{𝑖}} + \sum \frac{Λ_{𝑖_{2}} ([𝜓])}{𝑠 + 𝜆_{𝑖}}

说明了系统的响应总能拆分为零输入响应和零状态响应的和。

三、离散傅里叶变换与线性常系数差分方程

只需要将差分方程两边同时施行离散傅里叶变换：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} ℱ︀ {𝑦 [𝑛 - 𝑘]} = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} ℱ︀ {𝑥 [𝑛 - 𝑘]}

进一步利用时间平移：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} e^{- j 𝑘 𝜔} 𝑌 (e^{j 𝜔}) = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} e^{- j 𝑘 𝜔} 𝑋 (e^{j 𝜔})

$𝑋 (e^{j 𝜔}), 𝑌 (e^{j 𝜔})$ 中不含 $𝑘$ ，因此可以提取到求和号外。于是系统函数就非常显然了：

𝐻 (e^{j 𝜔}) = \frac{𝑌 (e^{j 𝜔})}{𝑋 (e^{j 𝜔})} = \frac{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} e^{- j 𝑘 𝜔}}{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} e^{- j 𝑘 𝜔}}

因此，对于线性常系数差分方程，其系统函数是(关于 $e^{- j 𝑘 𝜔}$ 的)有理分式。这样，对于任意具有有理分式形式傅里叶变换的输入 $𝑥 (𝑡)$ ，就可以在计算 $𝑌 (e^{j 𝜔}) = 𝐻 (e^{j 𝜔}) 𝑋 (e^{j 𝜔})$ 之后，利用部分分式展开，非常方便地逆变换为时域上的输出信号 $𝑦 (𝑡)$ 。

四、 $𝑍$ 变换与线性常系数差分方程

1.双边 $𝑍$ 变换

只需要将差分方程两边同时施行 $𝑍$ 变换：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} 𝒵︀ {𝑦 [𝑛 - 𝑘]} = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} 𝒵︀ {𝑥 [𝑛 - 𝑘]}

进一步利用时间平移：

\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} 𝑧^{- 𝑘} 𝑌 (𝑧) = \sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} 𝑧^{- 𝑘} 𝑋 (𝑧)

$𝑋 (𝑧), 𝑌 (𝑧)$ 中不含 $𝑘$ ，因此可以提取到求和号外。于是系统函数就非常显然了：

𝐻 (𝑧) = \frac{𝑌 (𝑧)}{𝑋 (𝑧)} = \frac{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑀} 𝑏_{𝑘} 𝑧^{- 𝑘}}{\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁} 𝑎_{𝑘} 𝑧^{- 𝑘}}

为了确定系统函数的收敛域，一般我们应当指定系统的性质，例如因果性或稳定性。之后就可以对系统的性质做出进一步的分析。

对于线性常系数差分方程，其系统函数是有理分式。这样，对于任意具有有理分式形式傅里叶变换的输入 $𝑥 (𝑡)$ ，就可以在计算 $𝑌 (𝑧) = 𝐻 (𝑧) 𝑋 (𝑧)$ 之后，利用部分分式展开，结合收敛域，非常方便地逆变换为时域上的输出信号 $𝑦 (𝑡)$ 。

2.单边 $𝑍$ 变换

类似于单边拉普拉斯变换，单边 $𝑍$ 变换的时间平移同样会使其携带初始信息。因此在给定初始值的情况下，常使用单边 $𝑍$ 变换来求解。并且，系统的总响应也能看做零输入响应和零状态响应的和。