信号系统（八）——滤波，采样与调制

一、滤波器

虽然滤波器这个名字像是“滤去一些频率”，但实际上很多线性时不变系统都能被称为滤波器。

1.频率选择性滤波器

如上述的狭义上的滤波器称为频率选择性滤波器，它能几乎无失真地通过我们想要得到的频率、而基本消除掉不想要的频率。这类滤波器可以区分为低通、高通、带通、带阻，其中比较基本的是低通与高通滤波器，因为带通和带阻分别可以通过低通与高通的串联和和并联得到。

理想的(连续时间)低通滤波器是：

𝐻 (j 𝜔) = {\begin{cases} 1, | 𝜔 | \leq 𝜔_{𝑐} \\ 0, | 𝜔 | > 𝜔_{𝑐} \end{cases}

而离散时间低通滤波器则会在上述的基础下，具有 $2 𝜋$ 的周期。

理想的(连续时间)高通滤波器是：

𝐻 (j 𝜔) = {\begin{cases} 1 \\ | 𝜔 | \geq 𝜔_{𝑐} \\ 0 \\ | 𝜔 | < 𝜔_{𝑐} \end{cases}

我们将上述出现的参数 $𝜔_{𝑐}$ 称为截止频率，代表了频率被截取的边界。

2.频率成形滤波器

而另外一些滤波器则是对频谱形状产生改变，这些就称为频率成形滤波器。

3.变中心频率的频率选择性滤波器

有时我们希望一个带通滤波器的中心频率是可变的，即可以任意选定想要通过的频率的范围——比如说一台收音机。但带通滤波器本身就不好设计，如果还要求中心频率可调，更是复杂。在这种情况下，不妨将带通滤波器认为是低通滤波器的平移——或者换一种说法，如果将原信号频移之后再使用低通滤波器，就可以达到可变中心频率的带通滤波器的效果。

假设低通滤波器的截止频率是 $𝜔_{𝑐}$ 。那么，将原信号乘上 $e^{j 𝜔_{0} 𝑡}$ ，就使原信号的频谱左移了 $𝜔_{0}$ 。此时通过低通滤波器，就会留下原信号 $[𝜔_{0} - 𝜔_{𝑐}, 𝜔_{0} + 𝜔_{𝑐}]$ 区间的频率(但此时处于 $[- 𝜔_{𝑐}, 𝜔_{𝑐}]$ 的位置)。因此之后再乘上 $e^{- j 𝜔_{0} 𝑡}$ ，就将频谱移回原位。

这是之后信号调制的基础。

二、采样

在现实中我们大部分遇到的都是模拟信号，即连续时间信号。但为了交给计算机处理，总需要将模拟信号转化为数字信号，即离散时间信号。为此，我们在模拟信号上等时间间隔地采样以形成数字信号。但是，计算机处理过的数字信号却不一定能重新转化为模拟信号，因为采样几乎必然导致信息丢失。但在满足某些条件的情况下，却可以以相当高的精度插值得到原信号的近似，甚至在更严苛的条件下直接得到原信号。

1.冲激串采样

一种最理想的采样即是冲激串采样，利用单位冲激函数的采样性质可以将模拟信号等间隔地提取为离散信号。这个冲激串采样的采样函数为：

𝑝 (𝑡) = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝛿 (𝑡 - 𝑛 𝑇)

其中 $𝑇$ 即是采样间隔。于是原信号 $𝑥 (𝑡)$ 在采样函数的作用下为：

𝑥_{𝑝 (𝑡)} = 𝑥 (𝑡) 𝑝 (𝑡) = \sum_{𝑛 = - \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝑛 𝑇) 𝛿 (𝑡 - 𝑛 𝑇)

为了求出 $𝑥_{𝑝 (𝑡)}$ 的傅里叶变换，不妨利用信号相乘性质。为此，查表得到 $𝑝 (𝑡)$ 的傅里叶变换为¹¹ 记 $𝜔_{𝑠} = \frac{2 𝜋}{𝑇}$ ，称为采样频率。实际求取时应使用周期函数的傅里叶变换：

𝑃 (j 𝜔) = 𝜔_{𝑠} \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝛿 (𝜔 - 𝑘 𝜔_{𝑠})

所以：

\begin{aligned} 𝑋_{𝑝 (j 𝜔)} & = \frac{1}{2 𝜋} 𝑋 (j 𝜔) * 𝑃 (j 𝜔) \\ = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑋 (𝑗 𝜑) 𝑃 (𝑗 (𝜑 - 𝜔)) 𝑑 𝜑 \\ = \frac{𝜔_{𝑠}}{2 𝜋} \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑋 (𝑗 (𝜔 + 𝑘 𝜔_{𝑠})) 𝛿 (𝜑 - 𝜔 - 𝑘 𝜔_{𝑠}) 𝑑 𝜑 \\ = \frac{1}{𝑇} \sum_{𝑘 = - \infty}^{+ \infty} 𝑋 (𝑗 (𝜔 + 𝑘 𝜔_{𝑠})) \end{aligned}

也就是说，在采样之后，原信号的频谱 $𝑋 (j 𝜔)$ 会复制无穷多份，而这每一份会(在频域上)被等间隔地平移 $𝜔_{𝑠}$ ，之后再将这些被平移的频谱都加在一起(并附上系数 $\frac{1}{𝑇}$ )，即形成了采样信号 $𝑥_{𝑝} (𝑡)$ 的频谱。

2.采样定理

大部分信号的频谱会由负无穷延伸到正无穷，这时采样信号 $𝑥_{𝑝} (𝑡)$ 的频谱必然是原信号频谱 $𝑋 (j 𝜔)$ 的层层叠叠，称为混叠。此时，我们基本不可能从采样信号的频谱中提取出原信号的频谱。

但在现实中，我们往往只关注信号的低频部分，因为高次谐波并没太大作用——比如，人类听觉具有频率上限；电路系统中高次谐波会对元件产生损害。此时使原信号通过一个低通滤波器总是有益无害的。

这样，原信号就具有了最高频率，记为 $𝜔_{𝑀}$ ，这样的信号称为带限信号，即有：

𝑋 (j 𝜔) = 0, | 𝜔 | \geq 𝜔_{𝑀}

如同之前所说，当原信号频谱 $𝑋 (j 𝜔)$ 平移之后叠加，若之间有重叠部分，那么我们就不能从中恢复 $𝑋 (j 𝜔)$ 。但带限信号却提供了恢复原信号频谱的可能性，只要相邻两个平移的 $𝑋 (j 𝜔)$ 之间没有重叠即可。比如，取如下两个：

𝑋 (j 𝜔), 𝑋 (j (𝜔 - 𝜔_{𝑠}))

两者没有重叠的条件是 $𝜔_{𝑠} - 𝜔_{𝑀} \geq 𝜔_{𝑀}$ ，即 $𝜔_{𝑠} \geq 2 𝜔_{𝑀}$ 。此时每个相邻的 $𝑋 (j 𝜔)$ 彼此分离，使用截止频率为 $𝜔_{𝑀}$ 的低通滤波器就能得到原信号频谱 $𝑋 (j 𝜔)$ ——也就是说，能够完全地恢复时域上的原信号！

这就是所谓采样定理，即当采样频率满足 $𝜔_{𝑠} \geq 2 𝜔_{𝑀}$ 时，对带限信号冲激采样形成离散信号后，依然能完整地恢复原信号。

我们将这个最小的采样频率 $2 𝜔_{𝑀}$ 称为奈奎斯特率。

三、调制与解调

在通信系统中，由于生物能产生的信号频率都不高(意味着能量不高)，在传输过程中会有不可忽视的衰减。而高频信号，例如电磁信号，则有更强的抗干扰能力，因此为了传送低频的原信号(称为调制信号)，我们常常将其嵌入到高频信号(称为载波信号)中，这就称为调制。而从高频信号中提取出低频信号，则称为解调。

1.幅度调制

在上文“3.变中心频率的频率选择性滤波器” 中我们已经举了一个例子，在这里它的前半部分就是一个信号调制的过程。具体而言，这个例子中载波信号是复指数信号，在一般情况下是：

𝑐 (𝑡) = e^{j (𝜔_{𝑐} 𝑡 + 𝜃_{𝑐})}

$𝜔_{𝑐}$ 称为载波频率，简便起见总令 $𝜃_{𝑐} = 0$ 。于是，原信号在载波信号的作用下，即 $𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) 𝑐 (𝑡)$ ，其频率增加了 $𝜔_{𝑐}$ ——也就成为了高频信号。

注意到时域上的调制过程被表示为 $𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) 𝑐 (𝑡)$ ，直观上来看相当于使原信号 $𝑥 (𝑡)$ 的幅度产生 $𝑐 (𝑡)$ 的变化，因此将这种调制称为幅度调制。

在现实中，载波信号往往会取三角函数，称为正弦载波——然而实际上用的是余弦函数 $𝑐 (𝑡) = cos (𝜔_{𝑐} 𝑡 + 𝜃_{𝑐})$ ，大概是因为将其拆为复指数函数之和时系数是实数。还是取 $𝜃_{𝑐} = 0$ ，那么：

𝑐 (𝑡) = cos 𝜔_{𝑐} 𝑡 = \frac{1}{2} e^{j 𝜔_{𝑐} 𝑡} + \frac{1}{2} e^{- j 𝜔_{𝑐} 𝑡}

因此使用正弦载波时，显然原信号频谱会向两边分裂为两个，其平移尺度为 $𝜔_{𝑐}$ 。此时由于在频谱上同时具有两个原信号频谱之平移(当然，还有幅度上的变化)，因此这里有类似于采样定理中的限制——要求原信号是带限信号，频率上限是 $𝜔_{𝑀}$ ；同时需令 $𝜔_{𝑐} \geq 𝜔_{𝑀}$ ，否则会产生重叠，后续对解调产生影响。

2.解调

“3.变中心频率的频率选择性滤波器” 中例子的后半部分就是以复指数函数作为载波信号的信号解调了。乘上 $e^{- j 𝜔_{𝑐} 𝑡}$ 即可使其频率降低 $𝜔_{𝑐}$ ，恢复为原信号。

以复指数函数作为载波信号的信号解调相当直接。但对于正弦载波，则需要多加观察与注意了。以下介绍同步解调与非同步解调，虽然是针对正弦载波分析，但对于复指数载波也同样适用。

3.同步解调

现在已知调制后的信号为：

𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) 𝑐 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) cos 𝜔_{𝑐} 𝑡

注意到三角函数的降幂性质：

{cos}^{2} 𝜔_{𝑐} 𝑡 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 𝜔_{𝑐} 𝑡

所以将调制后信号再用原载波信号调制，就相当于一部分解调了：

𝑦 (𝑡) cos 𝜔_{𝑐} 𝑡 = \frac{1}{2} 𝑥 (𝑡) + \frac{1}{2} 𝑥 (𝑡) cos 2 𝜔_{𝑐} 𝑡

可见此时两次调制后的信号中有一部分是原信号的一半，而另一部分则是原信号(的一半)用 $cos 2 𝜔_{𝑐} 𝑡$ 调制的结果。这样，只要在上述的基础上再通过一个截止频率为 $𝜔_{𝑀} \sim 2 𝜔_{𝑐} - 𝜔_{𝑀}$ 的低通滤波器，即可得到原信号的一半。

注意到这里使用的载波信号与用来解调用的信号是完全相同的——不仅是频率，更重要的是相位。也就是说两者是完全同步的，这就是这种解调方法称为“同步解调”的原因。

注 1.

相位差会使解调得到的信号在幅度上产生衰减，尤其是当相位差为

\frac{𝜋}{2}

时得到恒零信号。因此这种解调方法要得到最好效果，就需使解调用信号与载波信号完全同步，而这在现实中并不好实现。

4.非同步解调

注意到时域上的信号调制过程：

𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) 𝑐 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) cos 𝜔_{𝑐} 𝑡

当 $𝑥 (𝑡)$ 恒正、且载波频率 $𝜔_{𝑐}$ 远大于调制信号的频率上限时，那么 $𝑦 (𝑡)$ 的包络线就已近似描绘了原信号 $𝑥 (𝑡)$ 。此时只要提取出 $𝑦 (𝑡)$ 的极值，就能相当近似地获得 $𝑥 (𝑡)$ 。这一解调方法不要求同步。