信号系统（五）——拉普拉斯变换

一、双边拉普拉斯变换的计算

1.拉普拉斯变换的引入

函数要想具有傅里叶变换，那么它应当在任意有限区间符合狄利克雷条件、并在 $(- \infty, + \infty)$ 上绝对可积，而这正是导致周期函数(乃至多项式)无法应用狭义傅里叶变换的原因——直到我们引入冲激函数的傅里叶变换，推广至广义傅里叶变换才得以解决。

现在假如有函数 $𝑓 (𝑡)$ ，我们并不关注它在 $𝑡 < 0$ 时的取值如何，因此也可以记为 $𝑓 (𝑡) 𝑢 (𝑡)$ 。同时，它在 $(- \infty, + \infty)$ 上也并非绝对可积的。但如果取收敛因子 $e^{- 𝜎 𝑡}$ ，那么：

𝑓 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡}

在合适的 $𝜎$ 取值下，上式是可以绝对可积的——也就可以利用傅里叶变换了。于是：

\begin{aligned} ℱ︀ {𝑓 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡}} & = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡} \cdot e^{- j 𝜔 𝑡} 𝑑 𝑡 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) e^{- (𝜎 + j 𝜔) 𝑡} 𝑑 𝑡 \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑓 (𝑡) e^{- 𝑠 𝑡} 𝑑 𝑡 \\ = ℒ︀ {𝑓 (𝑡)} \end{aligned}

在上面，我们将倒数两个式子定义为拉普拉斯变换。重新表述一遍：假设信号 $𝑥 (𝑡)$ ，那么下式定义了它的(双边)拉普拉斯变换，以 $ℒ︀ {𝑥 (𝑡)}$ 表示。由于积分结果为关于 $𝑠$ 的函数，因此其结果也能记为 $𝑋 (𝑠)$ ：

定义 1.（双边拉普拉斯变换）

𝑋 (𝑠) = ℒ︀ {𝑥 (𝑡)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝑡) e^{- 𝑠 𝑡} 𝑑 𝑡

2.拉普拉斯变换的收敛域

从上面对拉普拉斯变换的引入过程来看，信号 $𝑥 (𝑡)$ 的拉普拉斯变换可以看做是 $𝑥 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡}$ 的傅里叶变换，傅里叶变换也能看做 $𝜎$ 取值为 $0$ 时的拉普拉斯变换。也就是说，当我们求得某信号的拉普拉斯变换，也应立即可得对应的傅里叶变换——只需要将式中 $𝑠$ 替换为 $j 𝜔$ 即可。

然而在上面所说的内容中，我们似乎刻意回避了一些问题——尽管拉普拉斯变换相比傅里叶变换放松了条件，也不意味着所有的函数在拉普拉斯变换的积分号中收敛；即便是可以收敛的，也大概率要求 $𝑠$ 限定在一些范围内；因此，尽管形式上将 $𝑠$ 替换为 $j 𝜔$ 可以得到对应的傅里叶变换，也不代表得到的傅里叶变换式就是正确的、收敛的。例如 $𝑥_{1} (𝑡) = e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (𝑡)$ 和 $𝑥_{2} (𝑡) = - e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (- 𝑡)$ ，分别求其拉普拉斯变换：

\begin{cases} 𝑋_{1} (𝑠) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 𝛼 𝑡} e^{- 𝑠 𝑡} 𝑢 (𝑡) 𝑑 𝑡 \\ = \int_{0}^{+ \infty} e^{- (𝛼 + 𝑠) 𝑡} 𝑑 𝑡 \\ = \frac{1}{𝑠 + 𝛼} \end{cases} \begin{cases} 𝑋_{2} (𝑠) & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 𝛼 𝑡} e^{- 𝑠 𝑡} 𝑢 (- 𝑡) 𝑑 𝑡 \\ = - \int_{- \infty}^{0} e^{- (𝛼 + 𝑠) 𝑡} 𝑑 𝑡 \\ = \frac{1}{𝑠 + 𝛼} \end{cases}

可见两者的拉普拉斯变换结果完全相同！也就是即便给出变换结果 $\frac{1}{𝑠 + 𝛼}$ ，我们也无从区分原信号的准确形式。这其中丢失的信息在于积分变换的收敛条件。对于 $𝑋_{1} (𝑡)$ 而言，由于 $𝑡$ 的取值(积分)范围是 $𝑡 > 0$ ，因此要使积分收敛就要求 $ℛ︀ℯ︀ {𝛼 + 𝑠} > 0$ ，或者说 $ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > - 𝛼$ 。相同地， $𝑋_{2} (𝑡)$ 要收敛则要求 $ℛ︀ℯ︀ {𝑠} < - 𝛼$ 。

也就是说，对于双边拉普拉斯变换来说，仅仅给出积分变换的结果是不够的，会导致信息的丢失。必须同时给出相应的收敛域，有时简记为 $ROC$ ，才能完全地恢复为时域上的信号。收敛域一般会表示成一个关于 $ℛ︀ℯ︀ {𝑠}$ 的不等式，也就是说收敛域的边界¹¹ 如果存在的话在复平面上必然与虚轴²² 或者称为 $𝑗 𝜔$ 轴是平行的。

同时之前已经指出，傅里叶变换可以看做 $𝜎$ 取值为 $0$ 时的拉普拉斯变换，因此当收敛域中包含 $j 𝜔$ 轴时，其对应的傅里叶变换是收敛的。在上述的例子中，当 $𝛼 > 0$ 时， $𝑋_{2} (𝑠)$ 的收敛域就不包含虚轴，因此 $𝑥_{2} (𝑡)$ 的傅里叶变换并不收敛、尽管其拉普拉斯变换收敛，而 $𝑥_{1} (𝑡)$ 则都是收敛的。

3.零点和极点

对于拉普拉斯变换，我们不做太深入的了解，即假定我们会遇见的拉普拉斯变换结果都是有理分式的形式：

𝑋 (𝑠) = \frac{𝑀 (𝑠)}{𝐷 (𝑠)}

当信号 $𝑥 (𝑡)$ 是指数信号(包括实指数和复指数)的线性组合，其变换结果就是如上的有理分式形式。我们将分母多项式 $𝐷 (𝑠)$ 的根称为极点，而分子多项式 $𝑀 (𝑠)$ 的根称为零点。一般我们更关心极点——因为在这些点上， $𝑋 (𝑠)$ 是无意义的——也就是说，收敛域中必定不存在极点。关于收敛域与极点的关系会在后面讨论。

如果我们将零点和极点在复平面上标出，即以 $⚬$ 表示零点、 $\times$ 表示极点，称之为零极点图，那么这种几何表示与上述的有理分式表示是等价的。同时，由于收敛域也可以在复平面上表示出来，因此一个标注了收敛域和零点极点的复平面就可以唯一地指定一个时域上的信号。

有些时候，分子或分母多项式会出现重根。当重根次数为 $𝑛$ 时，相应地称 $𝑛$ 阶零点(极点)。

另外一些时候，分子和分母多项式的次数并不相同。例如当分母的次数比分子大 $𝑘 > 0$ 时，当 $𝑠 \to \infty$ 时 $𝑋 (𝑠)$ 趋于 $0$ ，那么相当于 $𝑋 (𝑠)$ 在无穷远点具有零点，且为 $𝑘$ 阶的。相应地，当分子的次数比分母大 $𝑘 > 0$ 时，也认为 $𝑋 (𝑠)$ 在无穷远点具有 $𝑘$ 阶极点。在这些情况下，以代数式表示 $𝑋 (𝑠)$ 是更好的。

4.拉普拉斯逆变换

既然拉普拉斯变换是推广了的傅里叶变换，自然也能利用傅里叶变换得到拉普拉斯变换的逆变换式。由于 $𝑥 (𝑡)$ 的拉普拉斯变换是 $𝑥 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡}$ 的傅里叶变换，因此：

𝑥 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡} = {ℱ︀}^{- 1} {𝑋 (𝑠)} = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑋 (𝑠) e^{j 𝜔 𝑡} 𝑑 𝜔

因此两边同时乘上 $e^{𝜎 𝑡}$ ：

\begin{aligned} 𝑥 (𝑡) & = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑋 (𝑠) e^{(𝜎 + 𝑗 𝜔) 𝑡} 𝑑 𝜔 \\ = \frac{1}{2 𝜋} \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑋 (𝑠) e^{𝑠 𝑡} 𝑑 𝜔 \\ = \frac{1}{2 𝜋 j} \int_{𝜎 - j \infty}^{𝜎 + j \infty} 𝑋 (𝑠) e^{𝑠 𝑡} 𝑑 𝑠 \end{aligned}

上式是一个复变函数的积分，但这里并不介绍。由于我们只关注 $𝑋 (𝑠)$ 为有理分式的拉普拉斯变换，简便起见还规定分子的次数小于分母的次数、且所有极点均为一阶的。那么显然 $𝑋 (𝑠)$ 可以拆为有理分式之和：

𝑋 (𝑠) = \sum \frac{𝐴_{𝑖}}{𝑠 + 𝛼_{𝑖}}

这样，根据收敛域，每一个 $\frac{𝐴_{𝑖}}{𝑠 + 𝛼_{𝑖}}$ 对应的原信号都能确定为 $𝐴_{𝑖} e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (𝑡)$ 或 $- 𝐴_{𝑖} e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (- 𝑡)$ 的其中一个。拆分为有理分式之后对照拉普拉斯变换表是我们求拉普拉斯逆变换的一般方法，并不多会按照逆变换的积分来求。

二、收敛域与极点的关系

1.收敛域的形状

正如之前所说，拉普拉斯变换的收敛域与 $𝑠 = 𝜎 + 𝑗 𝜔$ 中的实部 $𝜎 = ℛ︀ℯ︀ {𝑠}$ 相关，而虚部取值如何则是无关的。因此，收敛域是与 $j 𝜔$ 轴平行的带状区域。

2.收敛域内无极点

还是如之前所说，在极点上 $𝑋 (𝑠)$ 是无意义的，也意味着在这个取值上拉普拉斯变换的积分并不收敛。因此，收敛域内不能有极点。

3.收敛域何时为整个复平面

当信号 $𝑥 (𝑡)$ 具有有限持续期、并且绝对可积，那么其收敛域是整个复平面。这是因为这个条件使 $𝑥 (𝑡)$ 在其持续期内必定是有限值，即便收敛因子 $e^{- 𝜎 𝑡}$ 由于不恰当的取值反而使其增大， $𝑥 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡}$ 也依然取有限值，也即绝对可积。因此 $𝑥 (𝑡) e^{- 𝜎 𝑡}$ 的傅里叶变换必定存在，收敛性不由 $𝜎 = ℛ︀ℯ︀ {𝑠}$ 决定，故收敛域是整个复平面。

4.当 $𝑋 (𝑠)$ 为有理分式

当 $𝑋 (𝑠)$ 是有理分式时，收敛域由极点或无穷远界定。并且由性质 $3$ ，收敛域内没有极点。因此展开而言，这是说有理分式的拉普拉斯变换的收敛域有以下四种可能：

当没有极点时，收敛域为负无穷到正无穷，也就是整个复平面；
最左边极点到负无穷；
最右边极点到正无穷；
某相邻两极点的中间。

³³ 由于收敛域内没有极点，因此收敛域的边界是无限趋近于极点，而不是恰好到极点。因此收敛域必然是开区间。

5.右边信号

如果信号 $𝑥 (𝑡)$ 在 $𝑡 < 𝑡_{0}$ 时恒为 $0$ ，那么称之为右边信号。对于右边信号而言，其收敛域一定在复平面的右半边。 ⁴⁴ 注意，由于平面是无限大的，所以说收敛域在右半边，并不代表收敛域的左边界在虚轴右边。收敛域的左边界可以在任何位置，而收敛域在左边界的右边。

当 $𝑋 (𝑠)$ 是有理分式时，结合这个性质与性质 $4$ ，可以推出——收敛域在最右边极点的右半平面。 ⁵⁵ 注意，当 $𝑋 (𝑠)$ 不是有理分式时，收敛域不一定以极点为界。

6.左边信号

如果信号 $𝑥 (𝑡)$ 在 $𝑡 > 𝑡_{0}$ 时恒为 $0$ ，那么称之为左边信号。对于左边信号而言，其收敛域一定在复平面的左半边。

当 $𝑋 (𝑠)$ 是有理分式时，结合这个性质与性质 $4$ ，可以推出——收敛域在最左边极点的左半平面。

7.双边信号

双边信号当然可以拆分为右边信号和左边信号的和。因此双边信号的收敛域就至少是右边信号和左边信号的收敛域的交集。当交集为空集时，则拉普拉斯变换不存在。

三、拉普拉斯变换的性质

由于拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，因此这里对拉普拉斯变换性质的介绍不做证明。假设有信号 $𝑥_{1} (𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋_{1} (𝑠), 𝑥_{2} (𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋_{2} (𝑠)$ ，并且分别具有收敛域 $𝑅_{1}, 𝑅_{2}$ 。

1.时间平移

若时间发生平移 $𝑡 \to 𝑡 - 𝑡_{0}$ ：

𝑥 (𝑡 - 𝑡_{0}) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} e^{- 𝑠 𝑡_{0}} 𝑋 (𝑠)

其收敛域还是 $𝑅$ 。

2.时间伸缩(复域伸缩)

若时间发生伸缩变换 $𝑡 \to 𝛼 𝑡$ ：

𝑥 (𝛼 𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} \frac{1}{| 𝛼 |} 𝑋 (\frac{𝑠}{𝛼})

此时收敛域为 $\frac{𝑅}{𝛼}$ 。

因此时间反演相当于取 $𝛼 = - 1$ ，此时有：

𝑥 (- 𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋 (- 𝑠)

3.复域平移

当复域发生平移 $𝑠 \to 𝑠 - 𝑠_{0}$ ：

e^{𝑠_{0} 𝑡} 𝑥 (𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋 (𝑠 - 𝑠_{0})

此时收敛域是原收敛域向右平移 $𝑠_{0}$ 。

4.信号共轭

当取信号的共轭：

其收敛域还是 $𝑅$ 。

5.信号相加(线性)

𝛼 𝑥_{1} (𝑡) + 𝛽 𝑥_{2} (𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝛼 𝑋_{1} (𝑡) + 𝛽 𝑋_{2} (𝑡)

其收敛域至少是 $𝑅_{1} \cap 𝑅_{2}$ 。

6.信号微分

\frac{𝑑 𝑥 (𝑡)}{𝑑 𝑡} \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑠 𝑋 (𝑠)

其收敛域至少是 $𝑅$ 。

7.信号积分

\int_{- \infty}^{𝑡} 𝑥 (𝜏) 𝑑 𝜏 \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} \frac{1}{𝑠} 𝑋 (𝑠)

其收敛域至少是 $𝑅 \cap (ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > 0)$ 。

8.时域卷积(复域相乘)

𝑥_{1} (𝑡) * 𝑥_{2} (𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑋_{1} (𝑠) 𝑋_{2} (𝑠)

其收敛域至少是 $𝑅_{1} \cap 𝑅_{2}$ 。 ⁶⁶ 在这里我们没有引入纯虚数以外复数域上的卷积，也就是没有定义 $𝑋_{1} (𝑠) * 𝑋_{2} (𝑠)$ 的运算。因此不引入时域相乘时对应的性质。

9.复域微分

若对 $𝑋 (𝑠)$ 在复域上微分：

- 𝑡 𝑥 (𝑡) \overset{ℒ︀}{\leftrightarrow︎} \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} 𝑋 (𝑠)

其收敛域还是 $𝑅$ 。

10.初值与终值定理

这个定理要求 $𝑥 (𝑡)$ 是以 $0$ 为界的右边信号，即当 $𝑡 < 0$ 时 $𝑥 (𝑡) = 0$ 。并且 $𝑡 = 0$ 时 $𝑥 (𝑡)$ 中没有奇异函数的组成成分，那么有初值定理：

𝑥 (0_{+}) = lim_{𝑠 \to \infty} 𝑠 𝑋 (𝑠)

以及终值定理：

lim_{𝑡 \to \infty} 𝑥 (𝑡) = lim_{𝑠 \to 0} 𝑠 𝑋 (𝑠)

四、系统函数

在连续时间傅里叶中我们已经证明，复指数信号 $e^{𝑠 𝑡}$ 在经过线性时不变系统输出后，只会产生幅值上的变化，即 $𝐻 (𝑠) e^{𝑠 𝑡}$ 。这里的 $𝑠$ 并不限定于纯虚数，只是当 $𝑠 = 𝑗 𝜔$ 时，就顺势引入了傅里叶变换，并称 $𝐻 (𝑗 𝜔)$ 为频率响应。而在拉普拉斯变换中， $𝐻 (𝑠)$ 称为系统函数。与傅里叶变换中相似，如果已知系统的系统函数，那么对给定的输入产生的输出也可以非常方便地确定(在复域上)：

𝑌 (𝑠) = 𝐻 (𝑠) 𝑋 (𝑠)

通过系统函数，我们可以非常方便地看出线性时不变系统的性质。

1.因果性

对于线性时不变系统，因果性可以等价为初始松弛条件，即输入 $𝑥 (𝑡)$ 在某时间点 $𝑡_{0}$ 前恒为 $0$ ，那么输出 $𝑦 (𝑡)$ 也应恒为 $0$ 。而这也等价于，系统的单位冲激响应 $ℎ (𝑡)$ 在 $𝑡 < 0$ 时应恒为 $0$ 。也就是说，

定理 1.

若某线性时不变系统是因果的，那么其单位冲激响应是右边信号。

因此，若某线性时不变系统是因果的，那么其系统函数的收敛域就应是复平面的右半平面。但此结论的逆命题不一定成立，即已知收敛域是右半平面，不能保证系统是因果的。

但当 $𝐻 (𝑠)$ 是有理分式时，其收敛域由极点或无穷远点界定。此时，上述结论的逆命题是成立的。

2.稳定性

对于线性时不变系统，稳定性可以等价为系统的单位冲激响应 $ℎ (𝑡)$ 绝对可积，这也等价为单位冲激响应的傅里叶变换收敛。于是还能等价为：

定理 2.

若某线性时不变系统是稳定的，那么其系统函数的收敛域中包含

j 𝜔

轴。

而当 $𝐻 (𝑠)$ 是有理分式时，可以进一步等价为：系统函数的极点都在 $j 𝜔$ 轴的左边。

五、单边拉普拉斯变换及其特殊性质

1.单边拉普拉斯变换

在上面的讲述中，我们规定双边拉普拉斯变换为：

𝑋 (𝑠) = ℒ︀ {𝑥 (𝑡)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} 𝑥 (𝑡) e^{- 𝑠 𝑡} 𝑑 𝑡

这个定义并没有规定 $𝑥 (𝑡)$ 只能在某些段上具有非零值。然而这显然带来一些问题：尽管引入收敛因子 $e^{- 𝜎 𝑡}$ ，无论 $𝜎$ 取值如何，在 $(- \infty, + \infty)$ 上一定会有一段使收敛因子反而放大了原函数的值，使积分不收敛。因此，对于大部分要求双边拉普拉斯变换的信号，我们总为其附上单位阶跃函数 $𝑢 (𝑡)$ 从而收敛。从这个视角来看，规定积分上下限为 $(- \infty, + \infty)$ 实在没有必要。

在实际的物理过程中，其实我们并不关心在 $𝑡 = 0$ 之前发生了什么，重要的是从 $𝑡 = 0$ 开始，此时刻及之后系统要如何演化。因此更具实际意义的拉普拉斯变换应当定义为：

定义 2.（单边拉普拉斯变换）

𝒳︀ (𝑠) = 𝒰︀ℒ︀ {𝑥 (𝑡)} = \int_{0^{-}}^{+ \infty} 𝑥 (𝑡) e^{- 𝑠 𝑡} 𝑑 𝑡

这称为单边拉普拉斯变换。从定义来看，这是强制使 $𝑥 (𝑡)$ 成为了一个以 $𝑡 = 0$ 为左边界的右边信号。因此单边拉普拉斯变换的收敛域一定在复平面的右半平面。

单边拉普拉斯变换的性质与双边变换基本一致。稍有变化的是：对于时域伸缩变换而言，由于强制将 $𝑥 (𝑡)$ 视作 $𝑥 (𝑡) 𝑢 (𝑡)$ 的右边信号，因此我们并不允许出现 $𝛼 < 0$ 的情况。

2.时域微分

对于单边拉普拉斯变换而言，区别最大、且最重要的性质在于时域上的微分性质了。对单边变换求导会导致其包含初值信息。设信号 $𝑥 (𝑡) \overset{𝒰︀ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝒳︀ (𝑠)$ ，那么：

𝑥^{'} (𝑡) \overset{𝒰︀ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑠 𝒳︀ (𝑠) - 𝑥 (0^{-})

并且如果还能继续求导，这个过程可以一直持续下去。在一般的情况下可以归纳为：

𝑥^{(𝑛)} (𝑡) \overset{𝒰︀ℒ︀}{\leftrightarrow︎} 𝑠^{𝑛} 𝒳︀ (𝑠) - 𝑠^{𝑛 - 1} 𝑥 (0^{-}) - 𝑠^{𝑛 - 2} 𝑥^{'} (0^{-}) - \dots - 𝑠 𝑥^{(𝑛 - 2)} (0^{-}) - 𝑥^{(𝑛 - 1)} (0^{-})

六、基本拉普拉斯变换表

以下给出一些常见函数的双边拉普拉斯变换表：

表 1 基本拉普拉斯变换表

信号	拉普拉斯变换	ROC
$𝑥 (𝑡)$	$𝑋 (𝑠) = ℒ︀ {𝑥 (𝑡)}$	全部 $𝑠$
$𝛿 (𝑡)$	$1$	全部 $𝑠$
$𝛿 (𝑡 - 𝑡_{0})$	$e^{- 𝑠 𝑡_{0}}$	全部 $𝑠$
$\frac{𝑑^{𝑛}}{{𝑑 𝑡}^{𝑛}} 𝛿 (𝑡)$	$𝑠^{𝑛}$	全部 $𝑠$
$𝑢 (𝑡)$	$\frac{1}{𝑠}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > 0$
$- 𝑢 (- 𝑡)$	$\frac{1}{𝑠}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} < 0$
$\frac{𝑡^{𝑛 - 1}}{(𝑛 - 1)!} 𝑢 (𝑡)$	$\frac{1}{𝑠^{𝑛}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > 0$
$- \frac{𝑡^{𝑛 - 1}}{(𝑛 - 1)!} 𝑢 (- 𝑡)$	$\frac{1}{𝑠^{𝑛}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} < 0$
$e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (𝑡)$	$\frac{1}{𝑠 + 𝛼}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > - 𝛼$
$- e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (- 𝑡)$	$\frac{1}{𝑠 + 𝛼}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} < - 𝛼$
$\frac{𝑡^{𝑛 - 1}}{(𝑛 - 1)!} e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (𝑡)$	$\frac{1}{{(𝑠 + 𝛼)}^{𝑛}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > - 𝛼$
$- \frac{𝑡^{𝑛 - 1}}{(𝑛 - 1)!} e^{- 𝛼 𝑡} 𝑢 (- 𝑡)$	$\frac{1}{{(𝑠 + 𝛼)}^{𝑛}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} < - 𝛼$
$cos (𝜔_{0} 𝑡) \cdot 𝑢 (𝑡)$	$\frac{𝑠}{𝑠^{2} + 𝜔_{0}^{2}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > 0$
$sin (𝜔_{0} 𝑡) \cdot 𝑢 (𝑡)$	$\frac{𝜔_{0}}{𝑠^{2} + 𝜔_{0}^{2}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > 0$
$e^{- 𝛼 𝑡} cos (𝜔_{0} 𝑡) \cdot 𝑢 (𝑡)$	$\frac{𝑠 + 𝛼}{{(𝑠 + 𝛼)}^{2} + 𝜔_{0}^{2}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > - 𝛼$
$e^{- 𝛼 𝑡} sin (𝜔_{0} 𝑡) \cdot 𝑢 (𝑡)$	$\frac{𝜔_{0}}{{(𝑠 + 𝛼)}^{2} + 𝜔_{0}^{2}}$	$ℛ︀ℯ︀ {𝑠} > - 𝛼$